Groupe symétrique et déterminants

Exercices corrigés de mathématiques en Mpsi Pcsi, pour le chapitre « Groupe symétrique et déterminants »

Le groupe symétrique (1/2)

Exercices sur le thème « groupe symétrique » (1/2)

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{\det(M)}

, pour

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}

(Oral Centrale)
Soit

{A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}

avec

{a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}

. Calculer

{\det(A_n)}

(Oral X-Cachan)
Avec

A,M

dans

\mathcal{M}_4(\mathbb{K})

, on calcule

AM

\det(A)

pour en déduire

\det(M)

(Oral Centrale)
Soit

{(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}

. Calculer le déterminant

{\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3}

avec

{a+b+c=\pi}

.
Calculer

{\det(A)}

, avec

{A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}