Exercices corrigés
Exercice 1.
On considère la permutation \sigma suivante de {S_{12}} :
\small{\sigma=\begin{pmatrix}\!1\!\!&\!\!2\!\!&\!\!3\!\!&\!\!4\!\!&\!\!5\!\!&\!\!6\!\!&\!\!7\!\!&\!\!8\!\!&\!\!9\!\!&\!\!10\!\!&\!\!11\!\!&\!\!12\cr6\!\!&\!\!12\!\!&\!\!1\!\!&\!\!10\!\!&\!\!9\!\!&\!\!11\!\!&\!\!4\!\!&\!\!3\!\!&\!\!2\!\!&\!\!7\!\!&\!\!8\!\!&\!\!5\!\end{pmatrix}}
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Décomposer {\sigma} en produits de cycles à supports disjoints.
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Décomposer {\sigma} en produits de transpositions.
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Quelle est la parité de {\sigma}?
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Calculer l’entier minimum {n} tel que {\sigma^n=\text{Id}}. Calculer {\sigma^{1999}}.
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Exercice 2.
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Quand une permutation {\sigma} commute-t-elle avec une tranposition {\tau=(i,j)} ?
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En déduire que si {n\ge3}, seule {\text{Id}} commute avec tous les éléments de {S_n}.
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Montrer que si {n\ge4}, seule {\text{Id}} commute avec toutes les permutations paires.
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Exercice 3.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
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Montrer que {S_n} est engendré par les transpositions {\tau_j=(1,j)} avec {2\le j\le n}.
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Décomposer {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr4&5&2&1&3\end{pmatrix}} en produit de telles transpositions.
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Passer de {MERCI} à {CRIME} par échanges de deux lettres dont la première.
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Exercice 4.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
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Montrer que {S_n} est engendré par les transpositions {\tau_j=(j,j+1)}.
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Décomposer {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr4&5&2&1&3\end{pmatrix}} en produit de telles transpositions.
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Passer de {MERCI} au mot {CRIME} par des échanges de lettres contiguës :
- Par une méthode s’appuyant sur la question précédente.
- Par une méthode directe. En déduire une nouvelle réponse à la question {(2)}.
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Exercice 5.
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
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On note {c} la permutation circulaire définie par : {c=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n-1&n\\ 2&3&\cdots&n&1\end{pmatrix}}Montrer que {S_n} est engendré par {c} et par la transposition {\tau=(1,2)}.
Indication: on utilisera le résultat de la question {(1)} de l’exercice précédent.
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On veut passer du mot {MERCI} au mot {CRIME} uniquement
par des rotations du mot à droite ou des échanges des deux premières lettres.
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Donner une solution utilisant le résultat la question {(2)} de l’exercice précédent.
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Imaginer une solution directe, nécessitant beaucoup moins d’étapes. Commenter.
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