Le groupe symétrique (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
On considère la permutation \sigma suivante de {S_{12}} :
\small{\sigma=\begin{pmatrix}\!1\!\!&\!\!2\!\!&\!\!3\!\!&\!\!4\!\!&\!\!5\!\!&\!\!6\!\!&\!\!7\!\!&\!\!8\!\!&\!\!9\!\!&\!\!10\!\!&\!\!11\!\!&\!\!12\cr6\!\!&\!\!12\!\!&\!\!1\!\!&\!\!10\!\!&\!\!9\!\!&\!\!11\!\!&\!\!4\!\!&\!\!3\!\!&\!\!2\!\!&\!\!7\!\!&\!\!8\!\!&\!\!5\!\end{pmatrix}}

  1. Décomposer {\sigma} en produits de cycles à supports disjoints.
  2. Décomposer {\sigma} en produits de transpositions.
  3. Quelle est la parité de {\sigma}?
  4. Calculer l’entier minimum {n} tel que {\sigma^n=\text{Id}}. Calculer {\sigma^{1999}}.

Exercice 2.

  1. Quand une permutation {\sigma} commute-t-elle avec une tranposition {\tau=(i,j)} ?
  2. En déduire que si {n\ge3}, seule {\text{Id}} commute avec tous les éléments de {S_n}.
  3. Montrer que si {n\ge4}, seule {\text{Id}} commute avec toutes les permutations paires.

Exercice 3.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

  1. Montrer que {S_n} est engendré par les transpositions {\tau_j=(1,j)} avec {2\le j\le n}.
  2. Décomposer {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr4&5&2&1&3\end{pmatrix}} en produit de telles transpositions.
  3. Passer de {MERCI} à {CRIME} par échanges de deux lettres dont la première.

Exercice 4.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

  1. Montrer que {S_n} est engendré par les transpositions {\tau_j=(j,j+1)}.
  2. Décomposer {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr4&5&2&1&3\end{pmatrix}} en produit de telles transpositions.
  3. Passer de {MERCI} au mot {CRIME} par des échanges de lettres contiguës :

    • Par une méthode s’appuyant sur la question précédente.
    • Par une méthode directe. En déduire une nouvelle réponse à la question {(2)}.

Exercice 5.
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.

  1. On note {c} la permutation circulaire définie par : {c=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n-1&n\\ 2&3&\cdots&n&1\end{pmatrix}}Montrer que {S_n} est engendré par {c} et par la transposition {\tau=(1,2)}.
    Indication: on utilisera le résultat de la question {(1)} de l’exercice précédent.
  2. On veut passer du mot {MERCI} au mot {CRIME} uniquement
    par des rotations du mot à droite ou des échanges des deux premières lettres.

    • Donner une solution utilisant le résultat la question {(2)} de l’exercice précédent.
    • Imaginer une solution directe, nécessitant beaucoup moins d’étapes. Commenter.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.