Ouverts et fermés

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, extraits du chapitre « Espaces vectoriels normés », dans la catégorie « Ouverts et fermés ».

Un problème d’extrema liés

(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction

{f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}}

polynomiale homogène en les coordonnées

{x_i}

, sur un certain polygone de

{\mathbb{R}^n}

.

Matrices symétriques congruentes

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).

Un problème de minmax

(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction

{\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)}

admette localement un minimum (les

{f_i}

étant de classe

{\mathcal{C}^1}

sur

{\mathbb{R}^n}

Un ouvert union de boules fermées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un ouvert d’un evn

{E}

de dimension finie.
Montrer que

{\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)}

est un ouvert.

Intérieur et adhérence dans un evn

Quatre exercices sur le thème « ouverts, fermés, intérieur, adhérence ».

Boules ouvertes, boules fermées

Cinq exercices sur le thème « boules ouvertes ou fermées dans un evn ».

Matrices bistochastiques, épisode 2

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace

\mathcal{B}_n(\mathbb{R})

des matrices bistochastiques. On montre que

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

.

Ouverts et fermés à la fois

Soit

{E}

un espace vectoriel normé. Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont

{\emptyset}

et

{E}

.