Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Applications linéaires 2
Essouflement des noyaux
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Réciproque de P ↦ P-P’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Opérateur Delta sur les polynômes
(Oral Centrale)
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Moyenne des itérés de u quand um = Id
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Noyau et image de f et f^2
(Oral Ccp)
Avec f\in\mathcal{L}(E), on étudie les égalités {\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)} et {\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}.
Avec f\in\mathcal{L}(E), on étudie les égalités {\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)} et {\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}.
Projecteur p vérifiant u = pu – up ?
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u} un endomorphisme d’un \mathbb{K}-espace vectoriel {E}.
À quelle condition existe-t-il un projecteur {p} de {E} vérifiant {u= pu-up\,}?
Soit {u} un endomorphisme d’un \mathbb{K}-espace vectoriel {E}.
À quelle condition existe-t-il un projecteur {p} de {E} vérifiant {u= pu-up\,}?
Un espace d’applications linéaires
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E,F} deux {\mathbb{C}}-ev, où {\dim(E)=n} et {\dim(F)=p}, et {f\in{\mathcal L}(E,F)}. Préciser {\dim(H)}, où {H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}.
Soit {E,F} deux {\mathbb{C}}-ev, où {\dim(E)=n} et {\dim(F)=p}, et {f\in{\mathcal L}(E,F)}. Préciser {\dim(H)}, où {H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}.
Image et noyaux imposés
(Oral Ccp)
Soient {F,G} deux sous-espaces d’un espace vectoriel {E} de dimension finie.
Condition pour que : {\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}
Soient {F,G} deux sous-espaces d’un espace vectoriel {E} de dimension finie.
Condition pour que : {\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}
Rang et inégalités
(Oral Ensam)
Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que
{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.
Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que
{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.
Une forme linéaire sur IR[X]
(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Moyenne de permutations
(Oral Centrale)
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.