Structures algébriques (2/3)

Soit {G} un ensemble muni d’une loi de composition {\ast}. On dit que {(G,\ast)} est un groupe si :

• la loi {\ast} est associative, et il y a un élément neutre {e}.
• tout élément de {G} possède un inverse.

Si de plus la loi {\ast} est commutative, on dit que {(G,\ast)} est un groupe commutatif (ou abélien).

• Par définition un groupe est toujours non vide (puisqu’il y a au moins l’élément neutre).
• Si la loi est notée {+}, on dit que {(G,+)} est un groupe additif. Le neutre est noté {0}. On rappelle qu’une loi {+} est toujours supposée commutative, et qu’on note {-x} l’opposé (plutôt que l’inverse) de {x}.
• En cas de loi produit (notation {\times} ou par juxtaposition), on dit que {(G,\times)} est un groupe multiplicatif.

• Les ensembles {(\mathbb{Z},+)}, {(\mathbb{Q},+)}, {(\mathbb{R},+)} et {(\mathbb{C},+)} sont des groupes additifs.
• Les ensembles {(\mathbb{Q}^\ast,\times)}, {(\mathbb{Q}^{+\ast},\times)}, {(\mathbb{R}^\ast,\times)}, {(\mathbb{R}^{+\ast},\times)} et {(\mathbb{C}^\ast,\times)} sont des groupes multiplicatifs.
• L’ensemble {\mathcal{U}=\{z\in\mathbb{C},\;\left|z\right|=1\}} est un groupe multiplicatif.
  Il en est de même de l’ensemble {\mathcal{U}_{n}=\{z\in\mathbb{C},\;z^{n}=1\}} des racines {n}-ièmes de l’unité.

Soit {E} un ensemble. On note {\mathcal{S}_{E}} l’ensemble des bijections de {E} dans {E} (on dit les permutations de {E}).
Alors {\mathcal{S}_{E}} est un groupe pour la loi de composition des applications.

Remarque : dès que l’ensemble {E} possède au moins trois éléments, le groupe {\mathcal{S}_{E}} est non commutatif.

Soit {(G,\ast)} un groupe multiplicatif, d’élément neutre {e}, et soit {x} un élément de {G}.
On définit les puissances entières {x^n} ({n\in\mathbb{Z}}) de {x} de la manière suivante :

• on pose {x^0=e}.
• pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on pose {x^{n}=x\ast x^{n-1}}, c’est-à-dire {x^{n}=x\,x\,\cdots x} ({n} fois).
• pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on pose {x^{-n}=(x^n)^{-1}}, ou ce qui revient au même : {x^{-n}=(x^{-1})^n}.

• Avec ces notations, on a : {x^n\, x^m=x^{n+m}}, et {(x^n)^m=x^{nm}} pour tout {x} de {G} et tous {m,n} de {\mathbb{Z}}.
• Si les deux éléments {x} et {y} commutent, alors {(x\ast y)^n=x^n \ast y^n} (attention, c’est faux si {x\ast y\ne y\ast x}).
  En notation additive, on ne note plus {x^n} mais {nx}, pour tout {n} de {\mathbb{Z}}.
• Dans un groupe additif {(G,+)}, on considérera donc {3x}, par exemple, non pas comme le produit de {3} par {x}, mais comme un raccourci pour désigner {x+x+x}.

Soit {G} un groupe pour la loi {\ast}.
Pour tous éléments {x,y,z} de {G}, on a les implications {\begin{cases}(x\ast y=x\ast z)\ \Rightarrow\ y=z\\(y\ast x=z\ast x)\ \Rightarrow\ y=z\end{cases}}

On exprime la propriété précédente en disant que dans un groupe tout élément est simplifiable.

Attention, cette propriété cesse d’être vraie si on n’est pas dans un groupe (il peut exister des éléments « non simplifiables »).

Par exemple, dans {(\mathbb{R},\times)}, on n’a pas l’implication {0x=0y\Rightarrow x=y} (mais en revanche tout réel non nul est simplifiable pour le produit).

Dans {(E,\ast)} quelconque, les implications {\begin{cases}y=z\ \Rightarrow\ (x\ast y=x\ast z)\\y=z\ \Rightarrow\ (y\ast x=z\ast x)\end{cases}} sont évidentes.

Soit {G} un groupe pour la loi {\ast}. Soit {a} un élément de {G}.
L’application {g_{a}:x\mapsto a\ast x} (dite « multiplication à gauche par {a}« ) est bijective.
Sa bijection réciproque est {g_{a^{-1}}:x\mapsto a^{-1}\ast x} (c’est-à-dire la multiplication à gauche par {a^{-1}}).
L’application {d_{a}:x\mapsto x\ast a} (dite « multiplication à droite par {a}« ) est bijective.
Sa bijection réciproque est {d_{a^{-1}}:x\mapsto x\ast a^{-1}} (c’est-à-dire la multiplication à droite par {a^{-1}}).

Soit {G} un groupe pour la loi {\ast}. Soit {a,b} deux éléments de {G}.
L’équation {a\ast x=b} possède une solution unique, à savoir {x=a^{-1}\ast b}.
L’équation {x\ast a=b} possède une solution unique, à savoir {x=b\ast a^{-1}}.