Groupes et sous-groupes (2/5)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {G} un groupe. Pour tout {a} de {G} on pose {\varphi_a(x)=axa^{-1}}.
Montrer que {\varphi_{a}} est un automorphisme du groupe {G}.
Montrer que {a\mapsto\varphi_a} est un morphisme de {G} dans le groupe des automorphismes de {G}. Quel est le noyau de ce morphisme?
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Exercice 2.
Soit {G} un groupe fini d’ordre {n}. Soit {k} un entier premier avec {n}.
Montrer que {x\rightarrow x^k} est une bijection de {G} sur lui-même.
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Exercice 3.
Montrer que tout groupe d’ordre {4} est commutatif.
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Exercice 4.
La table suivante définit-elle un groupe ?
{\begin{array}{c|ccccc}\star& e & x & y & z & t\\\hline \phantom{|}e & e & x & y & z & t\\x & x & e & t & y & z\\y & y & z & e & t & x\\z & z & t & x & e & y\\t & t & y & z & x & e\end{array}}
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Exercice 5.
Soient {a,b} dans un groupe {G} vérifiant : {a^5=e} et {ab=ba^3}.
Montrer que {a^2b=ba} et que {ab^3=b^3a^2}.
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