Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {G} un groupe. Pour tout {a} de {G} on pose {\varphi_a(x)=axa^{-1}}. Montrer que {\varphi_{a}} est un automorphisme du groupe {G}. Montrer que {a\mapsto\varphi_a} est un morphisme de {G} dans le groupe des automorphismes de {G}. Quel est le noyau de ce morphisme? |
| Exercice 2. Soit {G} un groupe fini d’ordre {n}. Soit {k} un entier premier avec {n}. Montrer que {x\rightarrow x^k} est une bijection de {G} sur lui-même. |
| Exercice 3. Montrer que tout groupe d’ordre {4} est commutatif. |
| Exercice 4. La table suivante définit-elle un groupe ? {\begin{array}{c|ccccc}\star& e & x & y & z & t\\\hline \phantom{|}e & e & x & y & z & t\\x & x & e & t & y & z\\y & y & z & e & t & x\\z & z & t & x & e & y\\t & t & y & z & x & e\end{array}} |
| Exercice 5. Soient {a,b} dans un groupe {G} vérifiant : {a^5=e} et {ab=ba^3}. Montrer que {a^2b=ba} et que {ab^3=b^3a^2}. |