Structures algébriques (1/3)

    ℹ️        2    3

Loi de composition interne

D. Loi de composition sur un ensemble
Une loi de composition interne sur un ensemble {E} est une application de {E\times E} vers {E}.
Plutôt que de noter par exemple {f(u,v)} (notation
préfixée) l’image d’un couple {(u,v)}, on la note {u\ast v}, {u\,\text{T}\, v}, {u+v},
etc. (notation infixée) et on parle alors des lois {\ast}, {\text{T}}, {+}, etc.
On note souvent {(E,\ast)} pour désigner un ensemble {E} muni d’une loi de composition {\ast}.
R. Remarques diverses

  • On retiendra qu’une loi de composition {\ast} sur {E} est un mécanisme permettant, à partir de deux éléments quelconques {x} et {y} de {E}, de former un élément {z} de {E}, noté {z=x\ast y} et qu’on pourra appeler composé de {x} par {y} pour la loi {\ast}.
  • Il est important qu’une loi soit partout définie : le résultat {x\ast y} doit donc avoir un sens, quels que soient les éléments {x} et {y} de {E}.
  • Il arrive souvent qu’on utilise plusieurs fois le mécanisme précédent dans un même calcul. Il faut alors préciser, au moyen de parenthèses, dans quel ordre on a effectué les compositions.
  • Par exemple l’expression {x\ast y\ast z} est a priori dépourvue de signification, et il faudrait écrire soit {(x\ast y)\ast z} (si on a d’abord calculé {a=x\ast y} avant de calculer {a\ast z}), soit {x\ast (y\ast z)} (si on a d’abord calculé {b=y\ast z} avant de calculer {x\ast b}).
  • Plus compliqué, une expression comme {x\ast y\ast z\ast t} possède les cinq parenthèsages possibles suivants, qui indiquent chacune une chronologie particulière dans les compositions par la loi {\ast} : {\begin{array}{l}(x\!\ast\! y)\!\ast\! (z\!\ast\! t)\quad((x\!\ast\! y)\!\ast\! z)\!\ast\! t)\quad(x\!\ast\! (y\!\ast\! z))\!\ast\! t\\[6pt]x\!\ast\!((y\!\ast\! z)\!\ast\! t)\quad x\!\ast\!(y\!\ast\!(z\!\ast\! t))\end{array}}
  • On appréciera donc qu’une loi de composition possède la propriété suivante (associativité)…

D. Associativité d'une loi de composition
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est associative si, pour tous {x,y,z} de {E}, on a : {(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)}.

Quand une loi de composition {\ast} est associative, une expression comme {a\ast b\ast\ldots\ast x\ast y\ast z} est définie sans ambiguïté : les parenthèses qui indiquent dans quel ordre on combine les éléments deux à deux sont en effet inutiles. En revanche, l’ordre dans lequel les éléments apparaissent, de gauche à droite, reste important, à moins que…

D. Éléments qui commutent pour une loi
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
Soit {x} et {y} deux éléments de {E}. On dit que {x} et {y} commutent (pour la loi {\ast}) si {x\ast y=y\ast x}.
D. Commutativité d'une loi de composition
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est commutative si, pour tous {x} et {y} de {E}, on a : {x\ast y=y\ast x}.

Autrement dit : une loi de composition sur {E} est commutative si tous les éléments de {E} commutent deux à deux pour cette loi. Quand une loi {\ast} est associative et commutative, non seulement une expression comme {a\ast b\ast\ldots\ast x\ast y\ast z} est définie sans ambiguïté, mais on peut aussi changer l’ordre des termes
et notamment regrouper ceux d’entre eux qui sont identiques.

On pourra ainsi noter {x\ast y\ast x\ast y\ast z\ast y\ast x\ast y=x^3\ast y^4\ast z} à condition, pour tout entier strictement positif {n}, de poser {a^n=a\ast a\ast\ldots\ast a} (l’élément {a} apparaissant {n}fois).

Exemples de lois usuelles

Ce contenu nécessite une souscription active

Élément neutre et inversibilité

Ce contenu nécessite une souscription active

Distributivité

Ce contenu nécessite une souscription active

Partie stable pour une loi

Ce contenu nécessite une souscription active
        2    3