Structures algébriques (1/3)

Une loi de composition interne sur un ensemble {E} est une application de {E\times E} vers {E}.
Plutôt que de noter par exemple {f(u,v)} (notation
préfixée) l’image d’un couple {(u,v)}, on la note {u\ast v}, {u\,\text{T}\, v}, {u+v},
etc. (notation infixée) et on parle alors des lois {\ast}, {\text{T}}, {+}, etc.
On note souvent {(E,\ast)} pour désigner un ensemble {E} muni d’une loi de composition {\ast}.

• On retiendra qu’une loi de composition {\ast} sur {E} est un mécanisme permettant, à partir de deux éléments quelconques {x} et {y} de {E}, de former un élément {z} de {E}, noté {z=x\ast y} et qu’on pourra appeler composé de {x} par {y} pour la loi {\ast}.
• Il est important qu’une loi soit partout définie : le résultat {x\ast y} doit donc avoir un sens, quels que soient les éléments {x} et {y} de {E}.
• Il arrive souvent qu’on utilise plusieurs fois le mécanisme précédent dans un même calcul. Il faut alors préciser, au moyen de parenthèses, dans quel ordre on a effectué les compositions.
• Par exemple l’expression {x\ast y\ast z} est a priori dépourvue de signification, et il faudrait écrire soit {(x\ast y)\ast z} (si on a d’abord calculé {a=x\ast y} avant de calculer {a\ast z}), soit {x\ast (y\ast z)} (si on a d’abord calculé {b=y\ast z} avant de calculer {x\ast b}).
• Plus compliqué, une expression comme {x\ast y\ast z\ast t} possède les cinq parenthèsages possibles suivants, qui indiquent chacune une chronologie particulière dans les compositions par la loi {\ast} : {\begin{array}{l}(x\!\ast\! y)\!\ast\! (z\!\ast\! t)\quad((x\!\ast\! y)\!\ast\! z)\!\ast\! t)\quad(x\!\ast\! (y\!\ast\! z))\!\ast\! t\\[6pt]x\!\ast\!((y\!\ast\! z)\!\ast\! t)\quad x\!\ast\!(y\!\ast\!(z\!\ast\! t))\end{array}}
• On appréciera donc qu’une loi de composition possède la propriété suivante (associativité)…

Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est associative si, pour tous {x,y,z} de {E}, on a : {(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)}.

Quand une loi de composition {\ast} est associative, une expression comme {a\ast b\ast\ldots\ast x\ast y\ast z} est définie sans ambiguïté : les parenthèses qui indiquent dans quel ordre on combine les éléments deux à deux sont en effet inutiles. En revanche, l’ordre dans lequel les éléments apparaissent, de gauche à droite, reste important, à moins que…

Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
Soit {x} et {y} deux éléments de {E}. On dit que {x} et {y} commutent (pour la loi {\ast}) si {x\ast y=y\ast x}.

Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est commutative si, pour tous {x} et {y} de {E}, on a : {x\ast y=y\ast x}.

Autrement dit : une loi de composition sur {E} est commutative si tous les éléments de {E} commutent deux à deux pour cette loi. Quand une loi {\ast} est associative et commutative, non seulement une expression comme {a\ast b\ast\ldots\ast x\ast y\ast z} est définie sans ambiguïté, mais on peut aussi changer l’ordre des termes
et notamment regrouper ceux d’entre eux qui sont identiques.

On pourra ainsi noter {x\ast y\ast x\ast y\ast z\ast y\ast x\ast y=x^3\ast y^4\ast z} à condition, pour tout entier strictement positif {n}, de poser {a^n=a\ast a\ast\ldots\ast a} (l’élément {a} apparaissant {n}fois).