Lois de composition (2/3)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{E}

un ensemble muni d’une loi produit associative.
Pour tout

{a}

{E}

, on note

{aEa=\{axa, x\in E\}}

.
On suppose :

{\exists\, a\in E,\; aEa=E}

. Montrer que

{E}

possède un neutre.

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Exercice 2.
Soit

{E}

un ensemble fini muni d’une loi de composition

{\star}

.
On suppose qu’il existe

{a,b}

dans

{E}

tels que, pour tous

{x,y}

{\forall(x,y)\in E^2,\;\begin{cases}a\star x=a\star y\Rightarrow x=y\\ x\star b=y\star b\Rightarrow x=y\end{cases}}

Montrer qu’il existe ${e,f}$ dans ${E}$ tels que ${a\star e=a}$ et ${f\star b=b}$ .
Montrer que : ${\forall x\in E,\;e\star x=x\text{\ et\ }x\star f=x}$
Montrer que ${e=f}$ , et que cet élément est neutre pour ${\star}$ .

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Exercice 3.
Soient

{\mathcal{R}}

{\mathcal{S}}

deux relations binéaires sur un ensemble

E

.
On définit la relation

{\mathcal{T}=\mathcal{R}\star\mathcal{S}}

par :

{x\mathcal{T} y\Leftrightarrow\exists\, z\in E, x\mathcal{R} z\text{\ et\ }z\mathcal{S} y}

Montrer que la loi

{\star}

est associative.

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Exercice 4.
Sur

{\mathbb{R}}

on pose

{x\star y=x+y+\sin(xy)}

Cette loi est-elle commutative? Existe-t-il un élément neutre?
Montrer qu’il existe des éléments de ${\mathbb{R}}$ admettant plusieurs inverses.
En déduire que ${\star}$ n’est pas associative.

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