Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {E} un ensemble muni d’une loi produit associative. Pour tout {a} de {E}, on note {aEa=\{axa, x\in E\}}. On suppose : {\exists\, a\in E,\; aEa=E}. Montrer que {E} possède un neutre. |
| Exercice 2. Soit {E} un ensemble fini muni d’une loi de composition {\star}. On suppose qu’il existe {a,b} dans {E} tels que, pour tous {x,y} : {\forall(x,y)\in E^2,\;\begin{cases}a\star x=a\star y\Rightarrow x=y\\ x\star b=y\star b\Rightarrow x=y\end{cases}}
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| Exercice 3. Soient {\mathcal{R}} et {\mathcal{S}} deux relations binéaires sur un ensemble E. On définit la relation {\mathcal{T}=\mathcal{R}\star\mathcal{S}} par : {x\mathcal{T} y\Leftrightarrow\exists\, z\in E, x\mathcal{R} z\text{\ et\ }z\mathcal{S} y}Montrer que la loi {\star} est associative. |
| Exercice 4. Sur {\mathbb{R}} on pose {x\star y=x+y+\sin(xy)}.
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| Exercice 5. Combien y a-t-il de lois de composition sur un ensemble à {n} éléments ? Combien de ces lois sont-elles commutatives ? |