Structures algébriques (3/3)

Soit {A} un ensemble muni de deux lois de composition, notées {+} et {\times}.
On dit que {(A,+,\times)} est un anneau si :

• {(A,+)} est un groupe commutatif (son neutre est en général noté {0}).
• La loi {\times} est associative et distributive par rapport à l’addition.
• Il existe un élément neutre pour le produit {\times} (en général noté {1}).

Si de plus la loi {\times} est commutative, on dit que {(A,+,\times)} est un anneau commutatif.

• {(\mathbb{Z},+,\times)}, {(\mathbb{Q},+,\times)}, {(\mathbb{R},+,\times)} et {(\mathbb{C},+,\times)} sont des anneaux commutatifs.
• Soit {(A,+,\times)} un anneau de neutres {0} (pour la loi {+}) et {1} (pour la loi {\times}).
  Il est possible que les deux éléments {0} et {1} de {A} soient identiques!
  Mais dans ce cas {A} se réduit à {\{0\}} (anneau nul, sans grand intérêt).

Soit {(A,+,\times)} un anneau.
L’ensemble des éléments de {A} qui sont inversibles pour le produit est un groupe pour la loi {\times}.

Par exemple, le groupe des inversibles de l’anneau {(\mathbb{Z},+,\times)} se réduit à la paire {\{-1,1\}}, et le groupe des inversibles de l’anneau {(\mathbb{R},+,\times)} est l’ensemble de tous les réels non nuls.