Structure d'anneau (1/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{A}

un anneau et

{C=\{x\in A,\forall\, y\in A, xy=yx\}}

.
Montrer que

{C}

est un sous-anneau de

{A}

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Exercice 2.
Soit

{A}

un anneau tel que :

{\forall\, (a,b)\in A^{\,2},\;(a^2-a)b=b(a^2-a)}

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Exercice 3.
Soit

{A}

un anneau sans élément nilpotent (autre que

{0}

).
Soit

{a\in A}

un élément idempotent (càd tel que

{a^2=a}

).
Montrer que

{a}

commute avec tout élément de

{A}

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Exercice 4.
Soit

{A}

un anneau tel que :

{\forall x\in A,\;x^2=x}

(anneau de Boole).

Donner des exemples d’une telle situation.
Montrer que : ${\forall a\in A,\;2a=0}$ . En déduire que ${A}$ est commutatif.
Montrer que ${A}$ ne peut pas se réduire à trois éléments.
On suppose que ${A}$ est fini et de cardinal supérieur à ${2}$ .
Montrer que ${A}$ possède des diviseurs de zéro (considérer ${xy(x+y)}$ ).
Si ${\text{Card}(A)=4}$ , montrer que ${A}$ est unique à isomorphisme près.
Montrer que si ${A}$ est fini, son cardinal est une puissance de ${2}$ .

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