Structure d'anneau (2/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Montrer qu’un anneau intègre et fini est un corps.

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Exercice 2.
Soit

{x}

un élément nilpotent d’un anneau

{A}

.
Montrer que

{1-x}

est inversible et préciser son inverse.

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Exercice 3.
Soit

{A=\{a+b\sqrt2, a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}\}}

Montrer que ${A}$ est un sous-anneau intègre de ${\mathbb{R}}$ .
Pour tout ${x=a+b\sqrt2}$ de ${A}$ , on pose ${N(x)=a^2-2b^2}$ .
Montrer que : ${\forall (x,y)\in A^2,\;N(xy)=N(x)N(y)}$ .
En déduire que ${x\in A}$ est inversible si et seulement si ${N(x)=\pm1}$ .
Montrer que les éléments ${\pm(1+\sqrt2)^n}$ de ${A}$ sont inversibles.
Réciproquement, soit x un élément inversible de {A}.
- Montrer qu’on peut se ramener à ${x=a+b\sqrt2}$ , avec ${a\in\mathbb{N}^*}$ et ${b\in\mathbb{N}}$ .
- Montrer alors que ${x=(1+\sqrt2)^n}$ avec ${n\in\mathbb{N}}$ et conclure.
  Indication : si ${b\ge1}$ , considérer ${x_1=\dfrac{x}{1+\sqrt2}}$ .

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