Exercices corrigés
Exercice 1.
Montrer qu’un anneau intègre et fini est un corps. |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 2.
Soit {x} un élément nilpotent d’un anneau {A}.
Montrer que {1-x} est inversible et préciser son inverse. |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 3.
Soit {A=\{a+b\sqrt2, a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}\}}.
-
Montrer que {A} est un sous-anneau intègre de {\mathbb{R}}.
-
Pour tout {x=a+b\sqrt2} de {A}, on pose {N(x)=a^2-2b^2}.
Montrer que : {\forall (x,y)\in A^2,\;N(xy)=N(x)N(y)}.
-
En déduire que {x\in A} est inversible si et seulement si {N(x)=\pm1}.
-
Montrer que les éléments {\pm(1+\sqrt2)^n} de {A} sont inversibles.
-
Réciproquement, soit x un élément inversible de {A}.
-
Montrer qu’on peut se ramener à {x=a+b\sqrt2}, avec {a\in\mathbb{N}^*} et {b\in\mathbb{N}}.
- Montrer alors que {x=(1+\sqrt2)^n} avec {n\in\mathbb{N}} et conclure.
Indication : si {b\ge1}, considérer {x_1=\dfrac{x}{1+\sqrt2}}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :