Groupes et sous-groupes (3/5)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} un ensemble non vide muni d’une loi multiplicative telle que : {\forall\, a,b,c,\;\begin{cases}a^2=b^2,\;ab^2=a\\a^2(bc)=cb,\;(ac)(bc)=ab\end{cases}}Montrer que {E} est un groupe pour la loi {\star} définie par : {a\star b=ab^3}.
Énoncer et prouver une réciproque.
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Exercice 2.
On définit la loi {\star} sur {\mathbb{R}} en posant : {x\star y=x+y-xy}.

  1. Etudier la loi {\star}. {(\mathbb{R},\star)} est-il un groupe ?
  2. Montrer que {(\mathbb{R}-\{1\},\star)} est un groupe abélien isomorphe à {(\mathbb{R}^*,\times)}.
  3. Pour {x\in\mathbb{R}} et {n\in\mathbb{N}}, calculer {x^{(n)}=x\star x\star\cdots\star x} ({n} fois).

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Exercice 3.
Montrer que {]\!-\!1,1[}, muni de {x\star y=\dfrac{x+y}{1+xy}}, est un groupe abélien.
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Exercice 4.
Soient {a,b} dans un groupe {G}, vérifiant : {b^6=e}, {ab=b^4a}.
Montrer que {b^3=e} et que {ab=ba}.
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Exercice 5.
Soit {G} un groupe, et {n} dans {\mathbb{N}}.
On suppose que {\varphi:x\mapsto x^n} est un morphisme de {G}.
Montrer que pour tout {x\in G}, {x^{n-1}} commute avec tous les éléments de {G}.
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