Groupes et sous-groupes (5/5)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {G} un groupe. On suppose qu’il existe {k\in\mathbb{N}} tel que : {\begin{cases}\forall\, i\in\{k,k+1,k+2\}\\\forall\, a,b\in G\end{cases}(ab)^i=a^ib^i}Montrer que {G} est un groupe abélien.
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Exercice 2.
Soit {G} un groupe et {H} une partie de {G}, finie non vide et stable.
Montrer que {H} est un sous-groupe de {G}.
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Exercice 3.
On considère les fonctions de {\mathbb{R}-\{0,1\}} dans lui-même, définies par : {\begin{array}{lll}f_1(x)\!=\!x&f_2(x)\!=\!\dfrac1{1\!-\!x}&f_3(x)\!=\!\dfrac{x\!-\!1}x\\\\f_4(x)\!=\!\dfrac1x&f_5(x)\!=\!1\!-\!x&f_6(x)\!=\!\dfrac x{x\!-\!1}\end{array}}

  1. Montrer qu’elles forment un groupe {G} pour la loi {\circ}.
  2. Quels sont les sous-groupes de {G} ?

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Exercice 4.
Soient {H} et {K} deux sous-groupes d’un groupe {G}.
Montrer que : ({H\cup K} sous-groupe de {G}) {\Leftrightarrow (H\subset K\text{\ ou\ }K\subset H}).
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Exercice 5.
Soit {(H_i)_{i\in I}} une famille non vide de sous-groupes d’un groupe {G}.
On suppose que pour tous {i,j} il existe {k} tel que {H_i\cup H_j\subset H_k}.
Montrer que {H=\bigcup H_i} est un sous-groupe de {G}.
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Exercice 6.
Soit {G} un groupe fini d’ordre {2n}, avec {n\ge2}.
On suppose qu’il existe deux sous-groupes {H,K} d’ordre {n}, tels que {H\cap K=\{e\}}.
Montrer que {n=2} et donner la table du groupe {G}.
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