Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {G} un groupe. On suppose qu’il existe {k\in\mathbb{N}} tel que : {\begin{cases}\forall\, i\in\{k,k+1,k+2\}\\\forall\, a,b\in G\end{cases}(ab)^i=a^ib^i}Montrer que {G} est un groupe abélien. |
| Exercice 2. Soit {G} un groupe et {H} une partie de {G}, finie non vide et stable. Montrer que {H} est un sous-groupe de {G}. |
| Exercice 3. On considère les fonctions de {\mathbb{R}-\{0,1\}} dans lui-même, définies par : {\begin{array}{lll}f_1(x)\!=\!x&f_2(x)\!=\!\dfrac1{1\!-\!x}&f_3(x)\!=\!\dfrac{x\!-\!1}x\\\\f_4(x)\!=\!\dfrac1x&f_5(x)\!=\!1\!-\!x&f_6(x)\!=\!\dfrac x{x\!-\!1}\end{array}}
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| Exercice 4. Soient {H} et {K} deux sous-groupes d’un groupe {G}. Montrer que : ({H\cup K} sous-groupe de {G}) {\Leftrightarrow (H\subset K\text{\ ou\ }K\subset H}). |
| Exercice 5. Soit {(H_i)_{i\in I}} une famille non vide de sous-groupes d’un groupe {G}. On suppose que pour tous {i,j} il existe {k} tel que {H_i\cup H_j\subset H_k}. Montrer que {H=\bigcup H_i} est un sous-groupe de {G}. |
| Exercice 6. Soit {G} un groupe fini d’ordre {2n}, avec {n\ge2}. On suppose qu’il existe deux sous-groupes {H,K} d’ordre {n}, tels que {H\cap K=\{e\}}. Montrer que {n=2} et donner la table du groupe {G}. |