Variables aléatoires indépendantes de même loi

Variables aléatoires indépendantes de même loi

Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient {X_{1},\ldots,X_{n}} des v.a.r indépendantes de loi : {P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}Soit {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}.
Montrer que {P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}
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Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
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Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
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Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
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Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes {(X_{n})_{n\geq 1}}.
On suppose que {X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)} et que {\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}} converge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}
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Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de X_1+\cdots+X_n\ge k.
On étudie la loi de Y_k et son espérance.
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