Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Commutant d’un endo scindé simple

Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

(où

{\dim(E)=n\ge1}

) ayant

{n}

valeurs propres distinctes.
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

. Montrer

{uv=vu}

si et seulement si

{v}

s’écrit

{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}

➡️

Réduction endomorphisme de K_n[X]

Pour tout polynôme

P

, on note

\varphi(P)

le polynôme

X(X-1)P'-nXP

.
Montrer que

{\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}

, et en donner les éléments propres.

➡️

Condition de non diagonalisabilité

Dire pour quel(s)

{a}

la matrice

{A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}}

n’est pas diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité sans calcul

Dire, sans calculs, pourquoi la matrice

{A=}

{\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}}

est diagonalisable.

➡️

Polynôme caractéristique de M^-1

Soit

{M}

une matrice de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de

{M^{-1}}

en fonction de celui de

{M}

➡️

Polynômes caractéristiques de AB et BA

Soient

{A}

{B}

deux matrices de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

{AB}

{BA}

ont le même polynôme caractéristique.

➡️

Valeurs propres de uv et de vu

Soit

{u}

{v}

deux endomorphismes d’un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.

➡️

Projecteurs de somme Id_E

Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-ev de dimension finie, et

{p_1,\ldots,p_n}

des projecteurs tels que

{\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}

.
Montrer que

{E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}

, et

{i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}

➡️

Rang d’une matrice à paramètre

Calculer le rang de

{A=}

{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}

➡️

Déterminant et produit de Kronecker

Pour

{A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}

{M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, soit

{A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}

Établir que ${\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}$

➡️

Déterminant par blocs

Soit

{M,N,P,Q}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, avec

PQ=QP

.
Montrer que

{\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}

➡️

Inverse d’une matrice 4×4

Soit

{A=}

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1&-1&-1\cr1&-1&1&-1\cr1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}

. Calculer

{A^2,A^3}

puis

{A^{-1}}

➡️

Pas de polynôme annulateur non nul

Montrer le seul polynôme annulateur de

u,v,w

(éléments de

\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])

est

0

{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}

➡️

Petit lemme des noyaux

Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

{\alpha\ne\beta}

dans

{\mathbb{K}}

. Montrer que:

{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}

➡️

Grassmann pour trois sous-espaces?

Soit

{F,G,H}

trois sous-espaces d’un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour

\dim(F+G+H)

➡️

Transformations en somme directe

Soit

{F_1,\ldots,F_p}

des sous-espaces de

{E}

tels que

{E=F_1+\cdots+F_p}

. Montrer qu’il existe des sous-espaces

{G_2,\ldots,G_p}

{E}

tels que

{G_j\subset F_j}

{E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}

➡️

Endomorphismes tels que f³ = Id

Dans un espace vectoriel

E

sur

{\mathbb{K}}

, on caractérise les endomorphismes

f

tels que

{f^3=\text{Id}}

par des sommes directes.

➡️

Sommes directes de polynômes

On définit les trois sous-espaces de

{E=\mathbb{K}_3[X]}

{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}

Caractériser

{F\oplus G}

et montrer

{E=F\oplus G\oplus H}

➡️

Supplémentaires isomorphes

Soit

F

un sous-espace d’un espace vectoriel

E

.
Montrer que les supplémentaires de

F

dans

E

sont isomorphes.

➡️

Intégrales généralisées

Prouver l’égalité

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}

Prouver l’égalité ${\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}$ .

➡️