Intégrales généralisées et séries

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Une jolie égalité intégrale/série

Prouver l’égalité

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}

(Ooral Mines-Ponts)
Pour

{x>0}

, on pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de

{f}

{0}

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

(Oral Mines)
Montrer que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}

(Oral Ccp et Centrale)
On suppose

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}

. Soit

{f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)}

une suite croissante de

{\mathbb{R}^{+*}}

, divergente.
Montrer que :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}

(Oral Mines-Ponts)
On pose

f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x}

g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t

.
Comparer

f

g

sur

{\mathbb{R}^{+*}}