Fonctions vectorielles

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Fonctions vectorielles et arcs paramétrés ».

M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))}

{M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}

.
On suppose :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}

.
On suppose :

{M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

(Oral Centrale)
Étudier l’arc paramétré défini par :

x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t)

\;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t)

\;z(t)=4\sin(t/2)

(Oral Mines-Ponts)
Étudier l’arc :

{x(t) = \dfrac{t^{3}}{t^{2}-1},\;y(t)=\dfrac{1}{t^{3}-t}}

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

symétrique, et

{B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Soit l’équation

{(E)}

{A'(t) = A(t)B - BA(t)}

où

{A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

{A(0) = A_{0}}

.
On va montrer que la matrice

{A(t)}

reste semblable à

{A_0}