(Oral CCInp)
Soit
{E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite
{(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de
{E} converge faiblement vers
{x\in E} si :
{\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que
{E} est de dimension finie.
Montrer que
{(x_{n})} converge faiblement vers
{x} si et seulement si
{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.