Somme des distances à une droite
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de {p} points.
Généralités sur l’orthogonalité
Convergence faible
(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
(AX|X) = 0 pour tout X
(Oral Mines-Ponts)
Préciser l’ensemble {E} des {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}
Préciser l’ensemble {E} des {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}
Éléments propres de M quand MMT=MTM
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {M{M}^{\top}={M}^{\top}M}.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Conservation de l’orthogonalité
Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
Produit scalaire et linéarité
Soit {E} préhilbertien réel, et {f\colon E\rightarrow E} une application.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
Une condition d’orthogonalité
Soit u,v deux vecteurs de {E} préhilbertien réel.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
Inégalité et norme euclidienne
Soient x,y dans {E} préhilbertien réel.
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Inégalités entre traces
Soit {A,B} deux matrices symétriques réelles d’ordre {n}.
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?