Familles orthogonales

On trouvera ici les exercices corrigés de Mathprepa issus du chapitre « Espaces préhilbertiens réels », dans la catégorie « Familles orthogonales ».

Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, soit

{v_{1}\ldots,v_{n+1}}

avec

{(v_{i}\mid v_{j})=-1}

{i\neq j}

.
Soit

{w_{1},\ldots,w_{n+1}}

tels que

{(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})}

pour tous

{i,j}

. Montrer qu’il existe un unique

{u\in O(\mathbb{R^n})}

tel que

{u(v_{i})=w_{i}}

pour tout

{i}

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Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

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Un produit scalaire entre polynômes

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}

, où

{c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}

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Une base orthonormale

Dans

{E}

préhilbertien réel, soit

{(e_k)_{1\le k\le n}}

unitaires tels que :

{\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

Montrer que

{(e_k)_{1\le k\le n}}

est une base orthonormée de

{E}

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Procédé de Gram-Schmidt

On munit

{\mathbb{R}_4[X]}

{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique

{1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}

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Une base orthonormale de ℝ[X]

Dans

{\mathbb{R}[X]}

, on pose

{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

{\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;}

{\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}

.
1. Montrer que

{(P_{n})_{n\ge0}}

est une famille orthogonale. Calculer

\|P_n\|

.
2. Former une base orthonormale de

{\mathbb{R}_{4}[X]}

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Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

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Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
On munit

{{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}

On définit les

{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin

{f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}

par un polynôme de degré

{\le 2}

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