Formes linéaires

Exercices corrigés

Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

Forme linéaire, matrices semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}
2. On suppose : {\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.