Formes linéaires

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire », dans la catégorie « Formes linéaires ».

Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit

{L}

la forme linéaire définie sur

{E=\mathbb{R}_{n}[X]}

par :

{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}

On se donne

{-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}

.
Montrer qu’il existe

{(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}}

tel que :

{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

Exercices sur le thème « formes linéaires »

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\varphi}

une forme linéaire sur

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

.
1. Montrer :

{\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}

2. On suppose :

{\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}

\quad

Montrer :

{\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}