Structures algébriques 2

Exercices corrigés de mathématiques pour le chapitre « Structures algébriques », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Décomposition en somme de carrés

(Oral Centrale) Soit

{G}

l’ensemble des éléments de

{\mathbb{K}}

qui peuvent s’écrire comme une somme de

{2^n}

éléments de

{\mathbb{K}}

. Par une récurrence matricielle, on montre que

{G}

est un sous-groupe de

{\mathbb{K}^*}

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Groupes d’endomorphismes de même rang

(Oral Centrale). On considère un sous-groupe quelconque de

{\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est un

{\mathbb{K}}

-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de

{E}

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Un groupe de matrices non inversibles

(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble

{G}

de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que

{G}

est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de

{G}

ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.

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Suite de Fibonacci modulo 41

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on montre entre autres choses que, modulo 41, la suite de Fibonacci est périodique de période 40.

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Produit de deux sous-groupes

Soient

{H}

{K}

deux sous-groupes d’un groupe

{G}

.
On note

{HK=\{hk, h\in H, k\in K\}}

{KH=\{kh, k\in K, h\in H\}}

.
Montrer :

{HK}

est un sous-groupe de

{G}

si et seulement si

{HK=KH}.

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Structure de groupe

Soit

{G}

un ensemble muni d’une loi produit associative telle que :
– Il existe un élément

{e}

{E}

tel que:

{\forall x\in E,\;xe=x}

– Pour tout

{x}

{E}

, il existe un

{x'}

dans

{E}

tel que

{xx'=e}

Montrer que

{G}

est un groupe.

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