Un problème d’extrema liés
(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} polynomiale homogène en les coordonnées {x_i}, sur un certain polygone de {\mathbb{R}^n}.
Ouverts et fermés
Matrices symétriques congruentes
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).
Un problème de minmax
(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction {\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)} admette localement un minimum (les {f_i} étant de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^n}
Un ouvert union de boules fermées
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A} un ouvert d’un evn {E} de dimension finie.
Montrer que {\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)} est un ouvert.
Soit {A} un ouvert d’un evn {E} de dimension finie.
Montrer que {\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)} est un ouvert.
Intérieur et adhérence dans un evn
Quatre exercices sur le thème « ouverts, fermés, intérieur, adhérence ».
Boules ouvertes, boules fermées
Cinq exercices sur le thème « boules ouvertes ou fermées dans un evn ».
Matrices bistochastiques, épisode 2
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
Ouverts et fermés à la fois
Soit {E} un espace vectoriel normé. Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont {\emptyset} et {E}.