Bases d’un espace vectoriel

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire », dans la catégorie « Bases d’un espace vectoriel ».

Une base de K_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{P\in \mathbb{K}[X]}

, de degré

{n}

, et soient

{a_{0},...,a_{n}}

distincts dans

{\mathbb{K}}

.
Montrer que les polynômes

{P_j(X)=P(X+a_{j})}

forment une base de

{\mathbb{K}_{n}[X]}

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Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

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Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

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Isomorphisme entre L(E) et E^n

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

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Polygônes réguliers

((Oral X-Cachan)
Soit

\omega=\text{e}^{2i\pi/n}

{W_{n}= (\omega^{r(s-1)})}

dans

{{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}

.
1. Déterminer le rang de

{W_{n}}

.
2. Donner une base de

{\text{Ker}(W_{n})}

.
3. Caractériser les polygones réguliers à

{n}

sommets de sens direct.

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Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

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