Techniques d’analyse (5/6)

Il existe une fonction unique {x\mapsto y(x)}, dérivable sur {\mathbb{R}}, et telle que : {\begin{cases}\forall\, x\in\mathbb{R},\;y'(x)=y(x)\cr y(0)=1\end{cases}}
On l’appelle la fonction exponentielle, et on la note {x\mapsto \exp(x)}.

La fonction {x\mapsto\exp(x)} est une bijection strictement croissante de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Sa bijection réciproque, de {\mathbb{R}^{+*}} sur {\mathbb{R}}, appelée fonction logarithme népérien, est notée {x\mapsto \ln x}.

• Par définition, on a l’équivalence : {\begin{cases}y=\exp(x)\cr x\in\mathbb{R}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\ln(y)\cr y>0\end{cases}}
• La fonction {x\mapsto\exp(x)} est indéfiniment dérivable sur {\mathbb{R}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\exp^{(n)}=\exp}.
  La fonction {x\mapsto\ln(x)} est définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par: {\forall\, x>0,\;\ln'(x)=\dfrac1x} et {\ln(1)=0}.
  La fonction {x\mapsto\ln(x)} est strictement croissante et indéfiniment dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}}.
• On note \text{e} l’unique réel strictement positif tel que {\ln(e)=1}. On a : {\text{e}\approx2.718281828}.
• Le logarithme népérien est l’unique primitive sur {\mathbb{R}^{+*}}, s’annulant en {x=1}, de la fonction {x\mapsto\dfrac1x}.
  En d’autres termes : {\forall x>0,\; \ln(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{\,\text{d}t}t}.
• La fonction {x\mapsto\exp(x)} est convexe sur {\mathbb{R}} (sa dérivée seconde est {\exp(x)>0}).

  Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a l’inégalité {\exp(x)\ge1+x} (avec égalité {\Leftrightarrow x=0}).

• La fonction {x\mapsto\ln(x)} est concave (sa dérivée seconde est {-\dfrac1{x^2}\lt 0}).

  Pour tout {x>0}, on a l’inégalité {\ln(x)\le x-1} (avec égalité {\Leftrightarrow x=1}).

Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}} : {\begin{array}{l}\exp(x\!+\!y)=\exp(x)\,\exp(y),\ \exp(-x)=\dfrac1{\exp(x)}\\\\\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\end{array}}
Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}^{+*}} : {\begin{array}{l}\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\ \ln\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=-\ln(x)\\\\\ln\Bigl(\dfrac{x}{y}\Bigr)=\ln(x)-\ln(y)\end{array}}

Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {\exp(n)=\exp(1)^n=\text{e}^n}.
Cette propriété se généralise aux exposants rationnels.

On décide d’étendre encore cette définition en posant : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\text{e}^x=\exp(x)}.
On définit ainsi les puissances de \text{e} avec exposant réel quelconque.

Toutes les propriétés de la fonction exponentielle peuvent alors se réécrire en utilisant cette notation.

Pour l’exponentielle : {\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0^+,&\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty\\\\\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\exp(x)}x=+\infty\\\\\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\exp(x)=0,&\quad\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\exp(x)-1}x=1\end{array}\right.}

Pour le logarithme népérien : {\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty,\;\displaystyle\lim_{+\infty}\ln(x)=+\infty\\\\\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0^-,\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}x=0^+\\\\\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}x=1,\;\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1\end{array}\right.}