Techniques d’analyse (1/6)

L’ensemble {\mathbb{R}} est muni d’une relation d’ordre notée {\le}.
Cette relation vérifie les propriétés suivantes :

• ordre total : pour tous {x,y}, {x\le y} ou {y\le x}.
• compatibilité avec l’addition : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x\le y\Rightarrow x+z\le y+z}.
• et avec le produit par un réel positif : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\forall z\in\mathbb{R}^+,\;(x\le y)\Rightarrow xz\le yz}.

• La relation d’ordre contraire de la précédente, définie par {x\ge y}, équivaut à {y\le x}.
  On utilise plus souvent {\le} que {\ge} dans les calculs, mais essentiellement {\le} dans les définitions et propriétés (sachant qu’à toute propriété relative à {\le} correspondant une propriété relative à {\ge}).
• On définit les inégalités strictes : {\begin{cases}\;x\lt y\text{\ équivaut à\ }(x\le y\;\text{et}\; x\ne y)\cr\;x>y\text{\ équivaut à\ }y\lt x\end{cases}}

  On rappelle que les relations {\lt } et {>} ne définissent pas des relations d’ordre, car elles ne sont pas réflexives (on n’a jamais {x\lt x}.

On peut restreindre la relation d’ordre de {\mathbb{R}} à chacun des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, ou {\mathbb{Q}} (et considérer alors qu’il s’agit d’une relation d’ordre total sur chacun de ces trois ensembles).
Pour ce qui est de {\mathbb{N}} et {\mathbb{Z}}, on dispose de propriétés importantes :

• Toute partie non vide de {\mathbb{N}} possède un élément minimum ({0} est le minimum de {\mathbb{N}}).
• Toute partie minorée non vide de {\mathbb{Z}} possède un élément minimum.
• Toute partie majorée non vide de {\mathbb{N}}, ou de {\mathbb{Z}}, possède un élément maximum.
• Si {x} et {y} sont dans {\mathbb{Z}}, on a l’équivalence : {x\le y\Leftrightarrow(\exists\, n\in\mathbb{N},\;y=x+n)}.

Les propriétés précédentes sont fausses pour l’ensemble {\mathbb{Q}} (démontrez-le).

On pose {\begin{cases}\mathbb{R}^{+*}=\{x\in\mathbb{R},\;x>0\}\\[6pt]\mathbb{R}^+=\mathbb{R}^{+*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\ge 0\}\end{cases}}
On définit de même : {\mathbb{Z}^{+*}}, {\mathbb{Z}^+}, {\mathbb{Q}^{+*}}, et {\mathbb{Q}^+}.
On pose {\begin{cases}\mathbb{R}^{-*}=\{x\in\mathbb{R},\;x\lt 0\}\\[6pt]\mathbb{R}^-=\mathbb{R}^{-*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\le0\}\end{cases}}
On définit de même {\mathbb{Z}^{-*}}, {\mathbb{Z}^-}, {\mathbb{Q}^{-*}}, et {\mathbb{Q}^-}.

Soit {x} un réel : si {x\ge 0} alors {x^{2}\ge 0} (comptabilité pour le produit par un réel positif).
Mais si {x\le 0}, alors {-x\ge 0} et là encore on a {(-x)^{2}\ge 0} c’est-à-dire {x^{2}\ge 0}.

Retenons donc que pour tout {x} réel, on a {x^{2}\ge0} (et bien sûr {x^{2}>0} pour tout réel {x} non nul).

De cette remarque très simple, il découle qu’il n’existe pas de relation d’ordre dans {\mathbb{C}} qui puisse étendre celle de {\mathbb{R}} (en gardant notamment la comptabilité pour le produit par un nombre positif) : en effet, si tel était le cas, on trouverait {i^{2}>0}, c’est-à-dire {-1>0}.

Il existe des relations d’ordre total sur {\mathbb{C}}, mais qui ne généralisent pas les propriétés de celle de {\mathbb{R}}.

Pour éviter les ennuis, on évitera donc d’écrire {z\le z'}, quand {z} et {z'} sont dans {\mathbb{C}}.

Le tableau ci-après résume les règles des signes, c’est-à-dire ce qu’on peut affirmer sur {x+y} ou sur {xy} quand on connait la position de {x} et de {y} par rapport à {0} (les points d’interrogation signifient qu’il n’y a pas de réponse générale dans tel ou tel cas).

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\ge0&\le0&\ge0&>0&\lt 0\cr y&\ge0&\le0&\le0&>0&\lt 0\vphantom{\Bigl(}\cr\hline \vphantom{\Bigl(}x+y&\ge0&\le0&?&>0&\lt 0\cr xy&\ge0&\ge0&\le0&>0&>0\end{array}}{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\gt0&>0&>0&\lt 0&\lt 0\cr y&\lt 0&\ge0&\le0&\ge0&\le0\vphantom{\Bigl(}\cr\hline \vphantom{\Bigl(}x+y&?&>0&?&?&\lt 0\cr xy&\lt 0&\ge0&\le0&\le0&\ge0\end{array}}

On démontre également les équivalences suivantes, valables pour tous réels {x,y,z} :
{\begin{cases}x+z\le y+z\Leftrightarrow x\le y\cr x\le y\Leftrightarrow-y\le-x\cr x\le0\Leftrightarrow-x\ge0\end{cases}}{\begin{cases}x+z\lt y+z\Leftrightarrow x\lt y\cr x\lt y\Leftrightarrow-y\lt -x\cr x\lt 0\Leftrightarrow-x>0\end{cases}}{\begin{cases}(x\le y\;\text{et}\; z\le0)\Rightarrow xz\ge yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z>0)\Rightarrow xz\lt yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z\lt 0)\Rightarrow xz>yz\end{cases}}

Pour tout {x\in\mathbb{R}^*}, on a les équivalences évidentes :{x>0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}>0\quad\text{et}\quad x\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0}Pour tout {x\in\mathbb{R}^*}, on a aussi les équivalences :{\begin{array}{ll}x>1\Leftrightarrow0\lt \dfrac{1}{x}\lt 1,\ &x\lt -1\Leftrightarrow-1\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\0\lt x\lt 1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}>1,\ &-1\lt x\lt 0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}\lt -1\cr \end{array}}Plus généralement, pour tous réels {x} et {y}, on a :
{\begin{array}{l}0\lt x\lt y\Leftrightarrow 0\lt \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\\\\ x\lt y\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\x\lt 0\lt y\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0\lt \dfrac{1}{y}\end{array}}