Séries numériques (1/2)

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Convergence/Divergence d’une série

D. Sommes partielles d'une série
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’éléments de {\mathbb{K}}. Soit {N} un entier naturel quelconque.
La quantité {S_N=\sum\limits_{n=0}^Nu_n} est appelée somme partielle d’indice {N} de la série {\sum\limits u_n}.

Avec ces notations on a {u_0=S_0} et, pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}} : {\;u_n=S_n-S_{n-1}}.
La suite {(u_n)_{n\ge0}} est donc à son tour déterminée par la suite {(S_n)_{n\ge0}}.

D. Convergence ou divergence
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{K}}.
On dit que la série {\sum\limits u_n} converge si la suite {(S_N)_{N\ge0}} de ses sommes partielles converge.
Dans le cas contraire, on dit que la série {\sum\limits u_n} diverge.
D. Somme d'une série convergente
Soit {\sum\limits u_n} une série convergente.
La quantité {\displaystyle\lim_{N\to+\infty}S_N} est notée {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n} et est appelée somme de la série {\sum\limits u_n}.
L’unicité de la limite implique l’unicité de la somme d’une série convergente.
R. Nature et somme
Déterminer la nature d’une série, c’est dire si elle est convergente ou divergente. C’est ensuite un autre problème que de calculer la somme (en cas de convergence, bien sûr).
Parfois les deux problèmes peuvent être traités simultanément, mais l’énoncé pourra demander de prouver d’abord la convergence, puis de calculer la somme. Enfin il est fréquent qu’on puisse prouver la convergence d’une série sans pouvoir en calculer la somme.
R. Changer un nombre fini de termes
On ne modifie pas la nature de la série {\sum\limits u_n} en changeant la valeur d’un nombre fini des {u_n}.
En cas de convergence, ces changements affectent (en général) la somme de la série.

Si la suite {(u_n)} n’est définie que pour {n\ge n_{0}}, on adapte facilement les définitions précédentes : on parle de la série {\sum\limits_{n\ge n_{0}}u_{n}} et en cas de convergence, la somme est notée {\sum\limits_{n=n_{0}}^{+\infty}u_n}.

D. Restes d'une série convergente
Soit {\sum\limits u_n} une série d’éléments de {\mathbb{K}}, convergente, de somme {S}. Soit {N} un entier naturel.
On appelle reste d’ordre {N} de cette série, la quantité :{R_N=S-S_N=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n-\sum\limits_{n=0}^{N}u_n=\sum\limits_{n=N+1}^{+\infty}u_n}Du fait de la convergence de la série, on a {\displaystyle\lim_{N\to\infty}R_N=0}.
Mais attention : on ne doit pas dire qu’une série est convergente si et seulement si son reste d’indice {N} tend vers {0}, car l’existence même de ce reste suppose que la série converge.

Propriétés des séries convergentes

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Comparaison des séries positives

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Convergence absolue

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