Réduction (3/4)

Soit {u} un endomorphisme d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension {n\ge1}.

On dit que {u} est diagonalisable s’il existe une base {\mathcal{B}} de {E} dans laquelle la matrice de {u} est diagonale. On dit alors que {\mathcal{B}} est une base de diagonalisation de {u}.

NB: cela équivaut à dire que {\mathcal{B}} est formée de vecteurs propres de {u}.

On dit qu’une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale {D}, c’est-à-dire s’il {P\in\text{GL}_n(\mathbb{K})} telle que {A=P D P^{-1}}.

On dit que {D\!=\!P^{-1}\!AP} est une réduite diagonale de {A}

Remarque : si {A} est diagonalisable et si {B} est semblable à {A}, alors {B} est diagonalisable.

Soit {u} un endomorphisme de {E}, de matrice {A} dans une base {\mathcal{B}} de {E}.

• On suppose que {u} est diagonalisable. Soit {\mathcal{B}'} une base de diagonalisation de {u}.
  Soit {P} la matrice de passage de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'}.
  Avec ces notations, la matrice (diagonale) de {u} dans {\mathcal{B}'} est {D=P^{-1}AP}. Donc {A} est diagonalisable.
• Réciproquement, on suppose {A} diagonalisable.
  Soit {P} une matrice inversible et {D} une matrice diagonale telle que {A=PDP^{-1}}.
  On interprète {P} comme la matrice de passage de la base {\mathcal{B}} à une base {\mathcal{B}'} de {E}.
  La matrice de {u} dans {\mathcal{B}'} est la matrice diagonale {P^{-1}AP=D}, donc {u} est diagonalisable.

En résumé, un endomorphisme {u} d’un {\mathbb{K}}-espace {E} (de dimension {n\ge1}) est diagonalisable si et seulement si sa matrice {A} (dans une base quelconque {\mathcal{B}} de {E}) est diagonalisable.

Réciproquement, dire qu’une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est diagonalisable, c’est dire que tout endomorphisme {u} d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension {n} ayant pour matrice {A} dans une certaine base est lui-même diagonalisable.

On identifie souvent une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} à l’endomorphisme {\widehat{A}} de {{\mathcal M}_{n,1}(\mathbb{K})} défini par {X\mapsto AX} (dans ce cas {A} est la matrice de l’endomorphisme {\widehat{A}} dans la base canonique).

Dire que la matrice {A} est diagonalisable, c’est dire que l’endomorphisme {\widehat{A}} est diagonalisable, et l’égalité {D=P^{-1}AP} (où {D} est diagonale) exprime que la matrice inversible {P} est la matrice de passage de la base canonique de {{\mathcal M}_{n,1}(\mathbb{K})} à une base de vecteurs propres de l’endomorphisme {\widehat{A}}.

Avec les notations ci-dessus, les coefficients de la diagonale de {D} sont les valeurs propres de {\widehat{A}} (c’est-à-dire les valeurs propres de {A}), chacune figurant autant de fois que son ordre de multiplicité.

Dans la pratique, il a peu de risque à identifier {A} et {\widehat{A}}.

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