Réduction (1/4)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, soit {D} une droite de {E}.
Soit {u} un endomorphisme de {E}.
Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. la droite {D} est stable par {u} ({u(D)\subset D}).
2. il existe un scalaire {\lambda} tel que, pour tout {x} de {D}, {u(x)=\lambda x} (c’est-à-dire {u_{\mid D}=\lambda \text{Id}_{D}}).
3. il existe un scalaire {\lambda}, et il existe un vecteur {x} non nul de {D}, tels que {u(x)=\lambda x}.

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, soit {u\in\mathcal{L}(E)}, et soit {x\ne0} dans {E}.
On dit que {x} est vecteur propre de {u} si la droite vectorielle {D=\mathbb{K} x} est stable par {u}.
Cela équivaut à l’existence d’un (unique) scalaire {\lambda} tel que {u(x)=\lambda x}.
On a alors : {\forall\, y\in\mathbb{K} x,\;u(y)=\lambda y}. On dit que {D} est une droite vectorielle propre de {u}.

Soit {u} un endomorphisme d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}, et soit {\lambda} un scalaire.
On dit que {\lambda} est une valeur propre de {u} s’il existe {x\ne0} dans {E} tel que {u(x)=\lambda x}.
L’ensemble des valeurs propres éventuelles de {u} est appelé le spectre de {u}, et est noté {\text{Sp}(u)}.

On a clairement : {u(x)\!=\!\lambda x\Leftrightarrow x\in\text{Ker}(u\!-\!\lambda\text{Id})}.
Les propositions suivantes sont donc synonymes :

1. {\lambda} est valeur propre de {u}
2. {\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})} n’est pas réduit à {\{0\}}
3. l’endomorphisme {u-\lambda\text{Id}} n’est pas injectif.

Soit {u} un endomorphisme d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Soit {\lambda} une valeur propre de {u}. Le sous-espace :{E_{\lambda}(u)=\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})=\{x\in E,\;u(x)=\lambda x\}} n’est donc pas réduit à {\{0\}}.
On dit que {E_{\lambda}(u)} est le sous-espace propre de {u} pour la valeur propre {\lambda}.

• Un sous-espace propre {E_{\lambda}(u)} est stable par {u} : la restriction de {u} à {E_{\lambda}(u)} est en effet l’application {x\mapsto \lambda x} (l’homothétie de rapport {\lambda} si {\lambda\ne0}, et l’application nulle sinon).
• Soit {\lambda\in\text{Sp}(u)}, c’est-à-dire une valeur propre de {u}.
  Les vecteurs propres de {u} pour {\lambda} sont les éléments non nuls de {E_\lambda(u)=\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})}.
  Ou encore : {E_\lambda(u)=\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})} est formé des vecteurs propres de {u} pour {\lambda} et du vecteur nul.
• Si {x} est vecteur propre de {u}, c’est pour l’unique {\lambda} tel que {u(x)=\lambda x}.
  En revanche, il y a une infinité de vecteurs propres de {u} pour {\lambda} (les vecteurs non nuls de {E_\lambda}).

• Si {u=\lambda\text{Id}}, alors {\text{Sp}(u)=\{\lambda\}} et {E_{\lambda}(u)=E}, dans la mesure bien sûr où {E\ne\{0\}}!
  Réciproquement, ce n’est pas parce que {\text{Sp}(u)=\{\lambda\}} qu’on a {u=\lambda\text{Id}}.
  Par exemple, soit {u\colon(x,y)\mapsto(y,0)}. On a {\text{Sp}(u)=\{0\}} mais {u} n’est pas l’application nulle.
• Le scalaire {0} est valeur propre d’un endomorphisme {u} si et seulement si {u} est non injectif. Le sous-espace propre associé est alors {E_0(u)=\text{Ker}(u)}.

• L’endomorphisme {u} de {\mathbb{K}[X]} défini par {u(P)=X P} n’a aucune valeur propre.
• L’endomorphisme {u} de {\mathbb{R}^{2}} défini par {u(x,y)=(-y,x)} n’a aucune valeur propre.
• L’endomorphisme {u} de {\mathbb{C}^{2}} défini par {u(x,y)=(-y,x)} a pour valeurs propres {i} et {-i}.
  On a : {E_{i}(u)=\mathbb{C}(1,-i)\;\text{et}\;E_{-i}(u)=\mathbb{C}(1,i)}
• Les valeurs propres de l’endomorphisme {u :P\to X P'} de {\mathbb{K}[X]} sont tous les entiers naturels. On trouve : {E_{n}(u)=\mathbb{K}\,X^n}
• L’endomorphisme {u:f\to f'} de {E={\mathcal C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})} admet tout réel pour valeur propre.
  On trouve : {E_{\lambda}(u)=\mathbb{R}\varphi_{\lambda}}, où {\varphi_\lambda(t)=\text{e}^{\lambda t}}.
• On suppose {E=F\oplus G} ({F\ne\{0\}}, {G\ne\{0\}}).
  Soit {p} la projection sur {F} parallèlement à {G}.
  Alors {\text{Sp}(u)=\{0,1\}}, avec {\begin{cases}E_{0}(p)=\text{Ker}(p)=G\\E_{1}(p)=\text{Inv}(p)=\text{Im}(p)=F\end{cases}}

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