Somme d’une série entière
(Oral Centrale) On calcule ici la somme d’une série entière, par des techniques de calcul intégral et d’interversion somme/intégrale. Très classique.
Séries entières et intégration
Suites récurrentes et produit de Cauchy
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.
Séries entières trigonométriques
(Oral Mines-Ponts)
Soient {\theta \in\,]0,\pi[}. On pose : {f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}Rayon et somme de ces deux séries entières.
Soient {\theta \in\,]0,\pi[}. On pose : {f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}Rayon et somme de ces deux séries entières.
Séries entières et intégrales
(Oral Centrale)
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.
Interversion intégrale/série
(Oral Centrale 2018)
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
Soit {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
Soit {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}
Série entière et intégrale
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Série entière à coefficient intégrale
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}. Rayon {R} de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} puis convergence en {\pm R}.
Soit {a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}. Rayon {R} de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} puis convergence en {\pm R}.
DSE d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}.
Montrer que {f} est développable en série entière
Préciser le domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}.
Montrer que {f} est développable en série entière
Un développement en série entière
(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.