(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction {\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)} admette localement un minimum (les {f_i} étant de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^n}
(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de {\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme infinie.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\ne\emptyset} une partie d’un espace vectoriel normé {E}.
Soit {f:A\rightarrow \mathbb{R}}, {k}-lipschitzienne {(k>0)}.
Pour tout {x\in E}, on note {\Delta_x=\{f(a)+k\|x-a\|,\;a\in A\}}Justifier la notation {g(x)=\inf\Delta_x} et montrer que {g} est un prolongement {k}-lipschitzien de {f} à {E} tout entier.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel normé.Pour {x\in E}, on pose {f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}.Montrer que {f} est une bijection de {E} sur la boule unité ouverte {B}, et que {f} est lipschitzienne.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A} un fermé de {E} (evn de dimension finie).
Soit {f:A\rightarrow A}, {k}-lipschitzienne avec {0\le k\lt 1}.
Montrer que {f} possède un unique point fixe sur {E}.
(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}. \quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.