Continuité dans un espace vectoriel normé

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, extraits du chapitre « Espaces vectoriels normés », dans la catégorie « continuité ».

Question de point fixe

(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.