Continuité dans un espace vectoriel normé

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, extraits du chapitre « Espaces vectoriels normés », dans la catégorie « continuité ».

Un prolongement lipschitzien

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\ne\emptyset}

une partie d’un espace vectoriel normé

{E}

.
Soit

{f:A\rightarrow \mathbb{R}}

{k}

-lipschitzienne

{(k>0)}

.
Pour tout

{x\in E}

, on note

{\Delta_x=\{f(a)+k\|x-a\|,\;a\in A\}}

Justifier la notation

{g(x)=\inf\Delta_x}

et montrer que

{g}

est un prolongement

{k}

-lipschitzien de

{f}

{E}

tout entier.

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé.Pour

{x\in E}

, on pose

{f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}

.Montrer que

{f}

est une bijection de

{E}

sur la boule unité ouverte

{B}

, et que

{f}

est lipschitzienne.

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un fermé de

{E}

(evn de dimension finie).
Soit

{f:A\rightarrow A}

{k}

-lipschitzienne avec

{0\le k\lt 1}

.
Montrer que

{f}

possède un unique point fixe sur

{E}

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit

{K\subset E}

un fermé borné non vide.
Soit

{f:K\rightarrow K}

telle que :

{x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}

1. Montrer :

{\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}

.
2. Soit

{x_0\in K}

et :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}

\quad

Montrer que

{(x_n)_{n\ge0}}

converge vers

{c}