Polynômes (3/8)

Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} un élément de {\mathbb{K}[X]}.
Pour tout {x} de {\mathbb{K}}, on pose {A(x)=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kx^k}.
On dit que {A(x)} est la valeur du polynôme {A} en {x}.
On dit que la fonction {x\mapsto A(x)} est la fonction polynomiale associée au polynôme {A}.
On note souvent {\widetilde A} cette fonction de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}}, pour la distinguer du polynôme {A}.

Un polynôme {A} de {\mathbb{K}[X]} tel que nous l’avons défini, est un objet « formel ».
La fonction polynomiale {\widetilde{A}} qui lui est associée est une fonction de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}}.

On ne doit donc pas confondre {A} et {\widetilde{A}}, même si l’égalité {A(\lambda)=\widetilde{A}(\lambda)} recèle une ambigüité.

Quand on envisage {A(\lambda)}, il ne faut pas dire qu’on donne à {X} la valeur {\lambda} (ou qu’on pose {X=\lambda}) car ça n’a pas de sens : {X} est un polynôme de degré {1} et il ne saurait être égal à la constante {\lambda}.

En fait, il s’agit d’une simple substitution : on se contente de remplacer {X} par {\lambda}.

Pour éviter toute ambiguïté, il est d’usage d’utiliser le nom {X} quand on parle de polynômes et la variable {x} quand on parle de fonctions polynomiales.

• Si {A} est un polynôme, alors {A(0)} est le coefficient constant de {A}. De même, {A(1)} représente la somme des coefficients de {A}.
• La fonction polynomiale associée au polynôme constant {\lambda} est la fonction constante {x\mapsto \lambda}.
  La fonction polynomiale associée au polynôme {X} est la fonction identité {x\mapsto x} de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}}.
• On rappelle qu’on note {\widetilde A} la fonction polynomiale associée à un polynôme {A}. Avec ces notations, et pour tous {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, on a :{\widetilde{A+B}=\widetilde{A}+\widetilde{B}\;\text{et}\;\widetilde{AB}=\widetilde{A}\;\widetilde{B}}De même, on vérifie que {\widetilde{A(B)}=\widetilde{A}\circ\widetilde{B}}.

Soit {A} dans {\mathbb{R}[X]}. On peut considérer {A} comme un élément particulier de {\mathbb{C}[X]}.
Alors pour tout complexe {z}, on a : {A(\overline{z})=\overline{A(z)}}.

Plus généralement, soit {A=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_{n}X^{n}} dans {\mathbb{C}[X]}. Posons {\overline{A}=\displaystyle\sum_{n\ge0}\overline{a_{n}}\,X^{n}}.

Pour tous {A,B} dans {\mathbb{C}[X]} et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{C}}, on a alors : {\overline{\alpha A+\beta B}=\overline{\alpha}\,\overline{A}+\overline{\beta}\,\overline{B}\;\text{et}\;\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}}

Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} un polynôme, et {\lambda} un scalaire.
On va voir comment calculer {A(\lambda)} en un minimum d’opérations.

Posons par exemple :{A=a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0}

• Le calcul de :{A(\lambda)=a_4\lambda^4+a_3\lambda^3+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0} nécessite à priori {14} opérations.
• Mais on peut aussi écrire : {A(\lambda)=\left(\left((a_4\lambda\!+\!a_3)\lambda\!+\!a_2\right)\lambda\!+\!a_1\right)\lambda\!+\!a_0}Sous cette forme, le calcul de {A(\lambda)} nécessite {8} opérations.
• Tout repose donc sur l’expression :{A=\left(\left((a_4X\!+\!a_3)X\!+\!a_2\right)X\!+\!a_1\right)X\!+\!a_0}On dit que cette expression est le schéma de Horner du polynôme {A}.
  Elle est particulièrement adaptée si on souhaite effectuer de nombreuses évaluations de {A}.

Plus généralement, le schéma de Horner repose sur : {\begin{array}{l}A=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kX^k=\\[12pts](\cdots((a_nX\!\!+\!a_{n-1})X\!\!+\!a_{n-2})X\!\!+\!\cdots)X\!\!+\!a_1)X\!\!+\!a_0\end{array}}