Calculs intégrales généralisées

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr dans la catégorie « Calculs d’intégrales généralisées ».

Petites intégrales généralisées (2/2)

Cinq calculs d’intégrales généralisées (2/2).

Cinq calculs d’intégrales généralisées (1/2).

Montrer :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}

Existence et calcul de

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}

Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\,\text{d}x}

Existence puis calcul de

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\,\text{d}x}

Étudier la fonction

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}

.
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}

Dérivabilité de

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}

.
En déduire

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}

Existence et calcul de l’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-i}}

(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}

(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}

(Oral Ensam)
Étudier

{x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}