Une matrice aléatoire symétrique
Plus grande valeur propre d’une matrice aléatoire symétrique de taille {n}.
Ens Mp/Mpi Réduction
Marche aléatoire sur un groupe cyclique
Diagonaliser la matrice de transition d’une marche modulo un nombre premier.
Marche aléatoire modulo K premier
Somme de variables aléatoires indépendantes modulo un nombre premier {K}.
Dérivées des valeurs propres
Comment les valeurs propres simples de {A\in\mathcal S_n(\mathbb{R}^+)} varient-elles sous perturbation ?
Invariance du polynôme caractéristique
Intégrale et Cayley-Hamilton
Prouver Cayley-Hamilton en calculant deux fois une même intégrale matricielle
Opérateur intégral et sev propres
Sev propres d’un opérateur intégral et d’un opérateur différentiel qui commutent.
Codiagonalisabilité générale
Les éléments d’une sous-algèbre de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} sans nilpotents non nuls sont tous codiagonalisables.
Commutateur et cotrigonalisabilité
{\operatorname{rg}(AB-BA)\leqslant1\Rightarrow A,B} cotrigonalisables.
Bijectivité de V ↦ UV + VU dans Mn(ℂ)
Réduction du commutateur
Matrices telles que Ap = Ip (p premier)
Pour {p} premier, donner les {A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{C})} telles que {A^p=I_p} ; idem avec {A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{Q})}.
Réduire A sur ℝ (A diagonalisable sur ℂ)
Une matrice réelle est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.
Quelle forme simple peut-on obtenir sur {\mathbb{R}} ?
Quelle forme simple peut-on obtenir sur {\mathbb{R}} ?
Endomorphismes semi-simples
Caractérisation des endomorphismes semi-simples par la factorisation de leur polynôme minimal.
Fonction signe d’une matrice
On étudie la « fonction signe » S(A) d’une matrice {A} inversible et trigonalisable sur {\mathbb{R}}.
Rang d’une matrice par blocs
Commutateur et vecteur propre
{A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} tq {AB-BA\in\operatorname{Vect}(A,B)}: elles ont un vecteur propre commun.
Suite convergte de C[X] et racines
Disques de Gershgorin, matrices compagnons, racines d’une suite CV de polynômes.
Diagonalisabilité dans M2(ℝ)
{A\!\in\!\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}, {|\!\det A|\!=\!1}, sans valeur propre de module {1} : elle est diagonalisable sur {\mathbb{R}}