(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {m} un nombre premier et {l\in\left\{1,\ldots,m-1\right\}}. On définit {Q\in\mathcal M_m(\mathbb Q)} par : {Q_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac12&\text{si }i-j\equiv0\text{ ou }l\pmod m,\\[8pt]0&\text{sinon.}\end{array}\right.}
| Question a) Montrer que {Q^n} converge et préciser sa limite. |
| Question b) Soient {X_1,X_2,\ldots} indépendantes à valeurs dans {\mathbb Z/m\mathbb Z}, avec : {\mathbb P(X_k=0)=\mathbb P(X_k=l)=\dfrac12.}Étudier la loi de {S_n=X_1+\cdots+X_n} lorsque {n\rightarrow+\infty}. |