(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {K\geqslant3} un nombre premier et {l\in\left\{1,\ldots,K-1\right\}}. On considère la matrice {Q\in\mathcal M_K(\mathbb R)} définie par : {Q_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac12&\text{si }i-j\equiv0\text{ ou }l\pmod K,\\[8pt]0&\text{sinon.}\end{array}\right.}
| Question a) Déterminer la limite de {Q^n}. |
| Question b) Soit {X} à valeurs dans {\mathbb Z/K\mathbb Z}, avec : {\mathbb P(X=0)=\mathbb P(X=l)=\dfrac12.}Pour une suite indépendante de même loi {(X_j)}, on pose {S_n=X_1+\cdots+X_n}. Montrer que {S_n} converge en loi vers la loi uniforme. |
| Question c) Généraliser en supposant seulement que {X} n’est pas presque sûrement constante. |