(Oral Ens Mp/Mpi)
On note {\mathcal D} l’ensemble des matrices symétriques réelles de taille {n} ayant {n} valeurs propres distinctes, rangées sous la forme : {\lambda_1(A)\lt \cdots\lt \lambda_n(A).}
| Question a) Soit {A:I\rightarrow\mathcal D} de classe {\mathcal{C}^2}. On admet que les valeurs propres {\alpha_k(t)=\lambda_k(A(t))} et une base orthonormée associée de vecteurs propres {u_1(t),\ldots,u_n(t)} peuvent être choisies de classe {\mathcal{C}^2}. Exprimer {\alpha_k'} à l’aide de {A,A'} et {u_k}, puis {\alpha_k''} à l’aide de {A',A'',u_k,u_k'}. |
| Question b) Montrer que {\mathcal D} est un ouvert de {\mathcal S_n(\mathbb{R})}. |
| Question c) On admet que {\lambda_k:\mathcal D\rightarrow\mathbb{R}} est de classe {\mathcal{C}^2}. Pour {A\in\mathcal D} et {H\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}, calculer la dérivée seconde en {0} de {t\mapsto\lambda_k(A+tH)}. |