Algèbre linéaire (4/5)

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Matrices semblables

D. Matrices semblables

Soit

{A}

{B}

deux matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
On dit que

{B}

est semblable à

{A}

s’il existe

{P}

dans

{\text{GL}_{n}(\mathbb{K})}

telle que

{B=P^{-1}AP}

R. Première propriétés de la similitude

Cette notion ne concerne que les matrices carrées.
La seule matrice semblable à la matrice nulle de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ est la matrice nulle elle-même.
Pour tout scalaire ${\lambda}$ , la seule matrice semblable à ${\lambda I_{n}}$ est la matrice ${\lambda I_{n}}$ elle-même.
Toute matrice de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ est semblable à elle-même (réflexivité).
Si ${B}$ est semblable à ${A}$ , alors ${A}$ est semblable à ${B}$ (symétrie) : on dit que ${A,B}$ sont semblables.
Si ${A}$ est semblable à ${B}$ , et si ${B}$ est semblable à ${C}$ , alors ${A}$ est semblable à ${C}$ (transitivité).
La relation de similitude est donc une relation d’équivalence sur ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ .

P. Caractérisation pour les endomorphismes

Deux matrices

{A,B}

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

sont semblables si et seulement si elles sont susceptibles de représenter un même endomorphisme

{u}

d’un espace vectoriel

{E}

de dimension

{n}

(chacune dans une certaine base).

P. Puissances de matrices semblables

Soit

{A}

{B}

deux matrices semblables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Soit

{P}

dans

{\text{GL}_{n}(\mathbb{K})}

telle que

{B=P^{-1}AP}

.
Alors pour tout

{m\in\mathbb{N}}

on a :

{B^m=P^{-1}A^mP}

.
C’est aussi vrai pour

{m\in\mathbb{Z}^{-*}}

{A}

(donc

{B}

) est inversible.
On pourra donc calculer

{B^m}

{A^m}

est plus facile à obtenir, notamment si

{A}

est diagonale.

E. Exercices conseillés

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