Algèbre linéaire 2nde année (4/5)

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Matrices semblables

D. Matrices semblables
Soit {A} et {B} deux matrices de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
On dit que {B} est semblable à {A} s’il existe {P} dans {\text{GL}_{n}(\mathbb{K})} telle que {B=P^{-1}AP}.
R. Première propriétés de la similitude

  • Cette notion ne concerne que les matrices carrées.
  • La seule matrice semblable à la matrice nulle de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est la matrice nulle elle-même.
    Pour tout scalaire {\lambda}, la seule matrice semblable à {\lambda I_{n}} est la matrice {\lambda I_{n}} elle-même.
  • Toute matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est semblable à elle-même (réflexivité).
    Si {B} est semblable à {A}, alors {A} est semblable à {B} (symétrie) : on dit que {A,B} sont semblables.
    Si {A} est semblable à {B}, et si {B} est semblable à {C}, alors {A} est semblable à {C} (transitivité).
    La relation de similitude est donc une relation d’équivalence sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.

P. Caractérisation pour les endomorphismes
Deux matrices {A,B} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} sont semblables si et seulement si elles sont susceptibles de représenter un même endomorphisme {u} d’un espace vectoriel {E} de dimension {n} (chacune dans une certaine base).
P. Puissances de matrices semblables
Soit {A} et {B} deux matrices semblables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Soit {P} dans {\text{GL}_{n}(\mathbb{K})} telle que {B=P^{-1}AP}.
Alors pour tout {m\in\mathbb{N}} on a : {B^m=P^{-1}A^mP}.
C’est aussi vrai pour {m\in\mathbb{Z}^{-*}} si {A} (donc {B}) est inversible.
On pourra donc calculer {B^m} si {A^m} est plus facile à obtenir, notamment si {A} est diagonale.

Trace (matrices, endomorphismes)

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