Algèbre linéaire 2nde année (2/5)

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Polynômes matriciels

{E} désigne un {\mathbb{K}}-espace vectoriel ({\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}).

D. Polynômes d'une matrice carrée
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_k X^k\in\mathbb{K}[X]}.

On note {A(M)=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kM^k}.
On dit que {A(M)} est un polynôme de la matrice {M}.

Si par exemple {A=X^p}, alors {A(M)=M^p}.
En particulier {1(M)=I_{n}}, ou encore {X(M)=M}.

On peut noter {\mathbb{K}[M]} l’ensemble des polynômes de {M}.

D. Polynômes d'un endomorphisme
Soit {u\in{\mathcal{L}(E)}, et {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_k X^k\in\mathbb{K}[X]}.

On note {A(u)=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_ku^k}.
On dit que {A(u)} est un polynôme de l’endomorphisme {u}.

Si par exemple {A=X^p}, alors {A(u)=u^p}.
En particulier {1(u)=\text{Id}_{E}}, ou encore {X(u)=u}.

On peut noter {\mathbb{K}[u]} l’ensemble des polynômes de {u}.

P. Représentation matricielle
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie {n\ge1}, muni d’une base {\mathcal{B}}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, de matrice {M} dans la base {\mathcal{B}}.
Soit {A} un polynôme de {\mathbb{K}[X]}.
Alors la matrice de {A(u)} dans la base {\mathcal{B}} est {A(M)}.
P. Espace des polynômes en M ou u
On reprend les notations de la définition précédente.
L’ensemble {\mathbb{K}[M]} (resp. {\mathbb{K}[u]}) est un sous-espace vectoriel de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} (resp. {\mathcal{L}(E)}).
Plus précisément : {\forall\,(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}^{2}}, {\forall\,(A,B)\in\mathbb{K}[X]^{2}}, {\begin{cases} (\alpha A+\beta B)(M)=\alpha A(M)+\beta B(M)\\(\alpha A+\beta B)(u)=\alpha A(u)+\beta B(u) \end{cases}}
R. Interprétation, et cas particuliers

  • On retiendra que {\mathbb{K}[M]} est le sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} engendré par {(M^{k})_{k\in\mathbb{N}}}.
    De même, {\mathbb{K}[u]} est le sous-espace de {\mathcal{L}(E)} engendré par la famille {(u^{k})_{k\in\mathbb{N}}}.
  • Pour {m} dans {\mathbb{N}}, on peut noter {\begin{cases}\mathbb{K}_{m}[M]=\{A(M),\;\deg(A)\le m\}\\\mathbb{K}_{m}[u]=\{A(u),\;\deg(A)\le m\}\end{cases}}
    On a là encore des espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.

    On a : {\begin{cases} \mathbb{K}_{m}[M]=\text{Vect}(\{M^{k},0\le k\le m\})\\\mathbb{K}_{m}[u]=\text{Vect}(\{u^{k},0\le k\le m\}) \end{cases}}.

    Ainsi {\begin{cases} \dim(\mathbb{K}_{m}[M])\le n+1\\\dim(\mathbb{K}_{m}[u])\le n+1 \end{cases}} (ça peut être strict!)

P. Anneaux des polynômes en M ou u
On reprend les notations de la définition précédente.

Les ensembles {(\mathbb{K}[M],+,\times} et {(\mathbb{K}[u],+,\circ)}) sont des anneaux commutatifs.

Plus précisément : {\forall\,(A,B)\in\mathbb{K}[X]^{2}}, {\begin{cases} (AB)(M)=A(M)B(M)=B(M)A(M)\\(AB)(u)=A(u)B(u)=B(u)A(u) \end{cases}}

R. Remarque sur la commutatitivé
{M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} (resp. {u} dans {\mathcal{L}(E)}) commute avec les polynômes de {M} (resp. de {u})

Plus généralement :

  • si les matrices {M,N} commutent, les polynômes de {M} commutent avec ceux de {N};
  • si les endomorphismes {u,v} commutent, les polynômes de {u} commutent avec ceux de {v}.

Polynômes annulateurs

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