Algèbre linéaire (2/5)

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Polynômes matriciels

${E}$ désigne un ${\mathbb{K}}$ -espace vectoriel ( ${\mathbb{K}=\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ ).

D. Polynômes d'une matrice carrée

Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_k X^k\in\mathbb{K}[X]}

On note ${A(M)=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kM^k}$ .
On dit que ${A(M)}$ est un polynôme de la matrice ${M}$ .

Si par exemple ${A=X^p}$ , alors ${A(M)=M^p}$ .
En particulier ${1(M)=I_{n}}$ , ou encore ${X(M)=M}$ .

On peut noter ${\mathbb{K}[M]}$ l’ensemble des polynômes de ${M}$ .

D. Polynômes d'un endomorphisme

Soit

{u\in{\mathcal{L}(E)}

, et

{A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_k X^k\in\mathbb{K}[X]}

On note ${A(u)=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_ku^k}$ .
On dit que ${A(u)}$ est un polynôme de l’endomorphisme ${u}$ .

Si par exemple ${A=X^p}$ , alors ${A(u)=u^p}$ .
En particulier ${1(u)=\text{Id}_{E}}$ , ou encore ${X(u)=u}$ .

On peut noter ${\mathbb{K}[u]}$ l’ensemble des polynômes de ${u}$ .

P. Représentation matricielle

Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension finie

{n\ge1}

, muni d’une base

{\mathcal{B}}

.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, de matrice

{M}

dans la base

{\mathcal{B}}

.
Soit

{A}

un polynôme de

{\mathbb{K}[X]}

.
Alors la matrice de

{A(u)}

dans la base

{\mathcal{B}}

est

{A(M)}

P. Espace des polynômes en M ou u

On reprend les notations de la définition précédente.
L’ensemble

{\mathbb{K}[M]}

(resp.

{\mathbb{K}[u]}

) est un sous-espace vectoriel de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

(resp.

{\mathcal{L}(E)}

).
Plus précisément :

{\forall\,(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}^{2}}

{\forall\,(A,B)\in\mathbb{K}[X]^{2}}

{\begin{cases} (\alpha A+\beta B)(M)=\alpha A(M)+\beta B(M)\\(\alpha A+\beta B)(u)=\alpha A(u)+\beta B(u) \end{cases}}

R. Interprétation, et cas particuliers

On retiendra que ${\mathbb{K}[M]}$ est le sous-espace de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ engendré par ${(M^{k})_{k\in\mathbb{N}}}$ .
De même, ${\mathbb{K}[u]}$ est le sous-espace de ${\mathcal{L}(E)}$ engendré par la famille ${(u^{k})_{k\in\mathbb{N}}}$ .
Pour ${m}$ dans ${\mathbb{N}}$ , on peut noter ${\begin{cases}\mathbb{K}_{m}[M]=\{A(M),\;\deg(A)\le m\}\\\mathbb{K}_{m}[u]=\{A(u),\;\deg(A)\le m\}\end{cases}}$
On a là encore des espaces vectoriels sur ${\mathbb{K}}$ .

On a : ${\begin{cases} \mathbb{K}_{m}[M]=\text{Vect}(\{M^{k},0\le k\le m\})\\\mathbb{K}_{m}[u]=\text{Vect}(\{u^{k},0\le k\le m\}) \end{cases}}$ .

Ainsi ${\begin{cases} \dim(\mathbb{K}_{m}[M])\le n+1\\\dim(\mathbb{K}_{m}[u])\le n+1 \end{cases}}$ (ça peut être strict!)

P. Anneaux des polynômes en M ou u

On reprend les notations de la définition précédente.

Les ensembles ${(\mathbb{K}[M],+,\times}$ et ${(\mathbb{K}[u],+,\circ)}$ ) sont des anneaux commutatifs.

Plus précisément : ${\forall\,(A,B)\in\mathbb{K}[X]^{2}}$ , ${\begin{cases} (AB)(M)=A(M)B(M)=B(M)A(M)\\(AB)(u)=A(u)B(u)=B(u)A(u) \end{cases}}$

R. Remarque sur la commutatitivé

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

(resp.

{u}

dans

{\mathcal{L}(E)}

) commute avec les polynômes de

{M}

(resp. de

{u}

)

Plus généralement :

si les matrices ${M,N}$ commutent, les polynômes de ${M}$ commutent avec ceux de ${N}$ ;
si les endomorphismes ${u,v}$ commutent, les polynômes de ${u}$ commutent avec ceux de ${v}$ .

E. Exercices conseillés

Polynômes annulateurs

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