Algèbre linéaire 2^nde année (3/5)

Soit {M} une matrice quelconque de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
On peut décomposer {M} en {mq} blocs {B_{ij}} : {M=\left(\begin{array}{c|c|c|c|c}% \vphantom{\Bigl(}\;B_{11}&\ldots&B_{1j}&\ldots&B_{1q}\\\hline \vdots&\;&\vdots&\;&\vdots\\\hline \vphantom{\Bigl(}\;B_{i1}&\ldots&B_{ij}&\ldots&B_{iq}\\\hline \vdots&\;&\vdots&\;&\vdots\\\hline \vphantom{\Bigl(}\;B_{m{}1}&\ldots&B_{mj}&\ldots&B_{mq}\end{array}\right)}La contrainte est que chaque {B_{i,j}} soit de taille {(n_{i},p_{j})},

avec : {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}n_{i}=n} (nombre total de lignes de {M}),
et : {\displaystyle\sum_{j=1}^{q}p_{j}=p} (nombre total de colonnes de {M})

Cas fréquent, les décompositions : {M=\begin{pmatrix}P&Q\\ R&S \end{pmatrix}}

Soit {M\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}. Notons {\text{L}_{1},\ldots,\text{L}_{n}} les lignes de {M} et {\text{C}_{1},\ldots,\text{C}_{p}} ses colonnes.

Les deux écritures suivantes sont des décompositions particulières de {M} : {\begin{array}{l}M=\left(\begin{array}{cccc} \;\qquad&\text{L}_1&\;\qquad\\\hline &\text{L}_2&\\\hline &\vdots&\\\hline &\text{L}_{n}&\end{array}\right)\\\\M=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\\\text{C}_{1}&\text{C}_{2}&\cdots&\text{C}_{p}\\&&&\end{array}\right)\end{array}}

Soit {B_{1},\ldots,B_{m}} une succession de {m} blocs carrés (pas nécessairement de même taille, certains d’entre eux pouvant même être réduits à un seul scalaire).
On note également {\ast} (« joker ») pour des blocs matriciels quelconques.
Soit {M=\begin{pmatrix}B_{1}&0&\cdots&0\\ 0&B_{2}&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&B_{m}\end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix}B_{1}&\ast&\cdots&\ast\\ 0&B_{2}&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ast\\ 0&\cdots&0&B_{m}\end{pmatrix}}
On dit que {M} est « diagonale par blocs », et que N est « triangulaire supérieure par blocs ».
On peut bien sûr définir les matrices « triangulaires inférieures par blocs >>.

• Rang d’une matrice par blocs
• Matrices par blocs
• Sous-espace de matrices de rang borné