Algèbre linéaire 2nde année (5/5)

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Déterminant triangulaire par blocs

P. Déterminant d'une matrice triangulaire
Soit {A\!\in\!\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} triangulaire supérieure ou inférieure.
Alors {\det(A)=\prod\limits_{i=1}^n a_{ii}} (produit des coeffs diagonaux).
C’est le cas en particulier si la matrice est diagonale.
P. Déterminant triangulaire par blocs
Soit {A=\begin{pmatrix}P&Q\\ 0&R\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} avec {\begin{cases}P\in\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})\\R\in\mathcal{M}_{n-p}(\mathbb{K})\end{cases}}
Alors {\det(M)=\det(P)\det(R)}.
P. Généralisation à m blocs diagonaux
Par une récurrence facile sur {m}, si :{A=\begin{pmatrix}A_{1,1}&\ast&\cdots&\ast\\ 0&A_{2,2}&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ast\\0&\cdots&0&A_{m,m}\end{pmatrix}}alors {\det(A)=\prod\limits_{i=1}^{m}\det(A_{i,i})}.
En utilisant la transposition (qui ne modifie par la valeur d’un déterminant), le résultat précédent s’étend au cas des matrices triangulaires inférieures par blocs.

Par exemple : {\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}\cr a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}&a_{36}\cr 0 &0 &0 &a_{44}&a_{45}&a_{46}\cr 0 &0 &0 &0 &a_{55}&a_{56}\cr 0 &0 &0 &0 &a_{65}&a_{66} \end{matrix}\right|}

est égal à : {\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}\right| \, a_{44} \, \left|\begin{matrix}a_{55}&a_{56}\cr a_{65}&a_{66} \end{matrix}\right|}

Formes linéaires sur un EV

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