Algèbre linéaire 2^nde année (1/5)

Soit {p\in\mathbb{N}^*}, et soit {(E_{i})_{1\le i\le p}} une famille de {p} espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Pour tous {\begin{cases} x=(x_{1},\ldots,x_{i},\ldots,x_{p})\\ y=(y_{1},\ldots,y_{i},\ldots,y_{p}) \end{cases}} de {E=\prod\limits_{i=1}^{p}E_{i}}, et pour tout scalaire {\lambda}, on pose : {\begin{cases} x+y=(x_{1}+y_{1},\ldots,x_{i}+y_{i},\ldots,x_{p}+y_{p})\\ \lambda x=(\lambda x_{1},\ldots,\lambda x_{i},\ldots,\lambda x_{p}) \end{cases}}Muni de ces opérations, {E} possède une structure de {\mathbb{K}}-espace vectoriel.
On l’appelle l’espace vectoriel produit des {(E_{i})_{1\le i\le p}}.

On reprend les notations de la définition précédente.
On suppose de plus que chaque espace {E_{i}} est de dimension finie.
Alors leur produit cartésien est de dimension finie.
Plus précisément : {\dim\Bigl(\prod\limits_{i=1}^{p}E_{i}\Bigr)=\sum\limits_{i=1}^{p}\dim E_{i}}.

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, et soit {(F_i)_{1\le i\le p}} une famille de {p} sous-espaces de {E}.
On note {\sum\limits_{i=1}^{p}F_{i}} l’ensemble des sommes {x=\sum\limits_{i=1}^{p}x_i}, où pour tout {i} de {\{1,\ldots,p\}}, {x_i\in F_i}.

On reprend les notations de la définition précédente.
L’ensemble {\sum\limits_{i=1}^{p}F_{i}} est un sous-espace vectoriel de {E}, appelé somme des {F_i}.
Précisément : {\sum\limits_{i=1}^{p}F_{i}=\text{Vect}\Bigl(\bigcup\limits_{i=1}^{p} F_{i}\Bigr)}, plus petit sous-espace de {E} contenant les {F_{i}}.

Soit {(F_i)_{1\le i\le p}} une famille de {p} sous-espaces de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. tout {x} de {\sum\limits_{i=1}^{p}F_{i}} s’écrit de façon unique {x=\sum\limits_{i=1}^{p}x_i}, avec {x_{i}} dans {F_{i}} pour tout {i}
2. pour tout choix de vecteurs {x_{i}} dans {F_{i}}, on a : {\sum\limits_{i=1}^{p}x_i=0\Rightarrow\bigl(\forall\, i\in \{1,\ldots,p\},\;x_{i}=0\bigr)}
3. pour tout {j} de {\llbracket 2,p\rrbracket} , {\Bigl(\,\sum\limits_{i=1}^{j-1}F_{i}\,\Bigr)\cap F_{j}=\{0\}}

Si ces conditions sont réalisées, on dit que {\sum\limits_{i=1}^{p}F_i} est directe et on la note {\bigoplus\limits_{i=1}^{p}F_i}.

• La somme {F+G} est directe si et seulement si {F\cap G} se réduit à {\{0\}}.
  Ne jamais dire que {F+G} est directe si et seulement si {F\cap G} est vide!
• Si {\sum\limits_{i=1}^{p}F_i} est directe et {J\subset \llbracket 1,p\rrbracket} alors {\sum\limits_{j\in J}F_j} est directe.
  En particulier, pour {i\ne j}, on a {F_i\cap F_j=\{0\}}.
• Mais attention, pour montrer que {F_1,F_2,\ldots,F_p} sont en somme directe, avec {p\ge3}, il ne suffit pas de vérifier {F_i\cap F_j=\{0\}} pour tous {i\ne j}.
  Ce serait pire de se contenter de {\bigcap\limits_{i=1}^{p}F_i=\{0\}}.
• Retenir que {\sum\limits_{i=1}^{p}F_i} est directe si et seulement si {\varphi\colon(x_{1},\ldots,x_{p})\mapsto \sum\limits_{i=1}^{p}x_{i}} est injective.

Soit {(F_i)_{1\le i\le p}} une famille de {p} sous-espaces de {E}.
On suppose que la somme {F=\sum\limits_{i=1}^{p}F_i} est directe.

Soit {I_{1},I_{2},\ldots,I_{q}} une partition de {I=\llbracket 1,p\rrbracket}.
Pour tout {k} de {\llbracket 1,q\rrbracket}, soit {G_{k}= \bigoplus\limits_{i\in I_{k}}F_i}.
Alors {\sum\limits_{k=1}^{q}G_k} est directe, et on a : {F=\bigoplus\limits_{k=1}^{q}G_k}.

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