Calculs asymptotiques (5/5)

On utilise principalement les équivalents dans les recherches de limites, mais on se tourne vers les développements limités si on a besoin de davantage de précision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport à celle-ci) ou quand il est difficile d’utiliser des équivalents (notamment dans les sommes).

• On peut avoir besoin de développements limités pour trouver un simple équivalent d’une somme.

  Par exemple, pour un équivalent de {\sin(\,\text{sh}(x))-\,\text{sh}(\sin(x))} en {0}, il faut développer {\sin(x)} et {\,\text{sh}(x)} à l’ordre {7} (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas).

  On trouve {\begin{cases}\sin(\,\text{sh}(x))=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\text{o}(x^7)\\\\\text{sh}(\sin(x))=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\text{o}(x^7)\end{cases}}

  Finalement : {\sin(\,\text{sh}(x))-\,\text{sh}(\sin(x))=-\dfrac{x^7}{45}+\text{o}(x^7)\stackrel{0}{\sim}-\dfrac{x^7}{45}}.

• Plus généralement, soit le développement {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.

  Si tous les {a_k} sont nuls, alors {f(x)} est négligeable devant {(x-x_0)^n} au voisinage de {x_0}.

  Sinon, et si {m} est l’indice minimum tel que {a_m\ne0}, alors {f(x)\sim a_m(x-x_0)^m} en {x_0}.

  Inversement, si {f(x)\sim a_m(x-x_0)^m} en {x_0}, avec {m\in\mathbb{N}}, alors {f(x)=a_m(x-x_0)^m+\text{o}((x-x_0)^m)}.

  Plus généralement, avec exemple le DL usuel : {\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)}.

  On peut écrire les équivalents : {\cos x-1\stackrel{0}{\sim}-\dfrac {x^2}{2!}}, ou encore {\cos x-1+\dfrac{x^2}{2!}\stackrel{0}{\sim}\dfrac {x^4}{4!}}

On suppose que {f} admet un développement limité d’ordre {n\ge3} au point {x_0} : {f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots}

On sait que cela implique la dérivabilité de {f} en {x_0}, avec {f(x_0)=a_0} et {f'(x_0)=a_1}.

L’équation de la tangente {\Delta} à {y=f(x)} en {x=x_0} est donc {y=a_0+a_1(x-x_0)}.

Remarque : si le DL n’est valable qu’à gauche ou à droite de {x_0}, il s’agit d’une demi-tangente.

Soit {m} l’indice minimum tel que {m\ge2} et {a_m\ne0}.

Alors {f(x)-a_0-a_1(x-x_0)\sim a_m(x-x_0)^m} au voisinage de {x_0}.

On en déduit le placement local de la courbe {y=f(x)} par rapport à la (demi-)tangente {\Delta}.

• Si {m} est pair, le placement de {y=f(x)} par rapport à {\Delta} est donné par le signe de {a_m}.
  Si {a_m>0}, la courbe est localement « au-dessus » de sa tangente.
  Si {a_m\lt 0}, la courbe est localement « en-dessous » de sa tangente.
• Si {m} est impair, la courbe {y=f(x)} « traverse » {\Delta} au voisinage de {M_0}.
  Dans ce cas, la droite {\Delta} est donc une tangente d’inflexion.

Voici les allures possibles au voisinage de {A(x_{0},a_{0})}, quand {a_{1}=f'(x_{0})} est strictement positif.

• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} pair, {a_{m}>0} :

  

• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} pair, {a_{m}\lt 0} :

  

• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} impair, {a_{m}>0} :

  

• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} impair, {a_{m}\lt 0} :
  

Voici les allures possibles au voisinage de {A(x_{0},a_{0})}, quand {a_{1}=f'(x_{0})} est strictement négatif.

• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} pair, {a_{m}>0}:
  
• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} pair, {a_{m}\lt 0}
  
• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} impair, {a_{m}>0} :
  
• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} impair, {a_{m}\lt 0} :
  

Enfin, voici les allures possibles au voisinage de {A(x_{0},a_{0})}, quand {a_{1}=f'(x_{0})} est nul :

• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {m} pair, {a_{m}>0} :
• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {m} pair, {a_{m}\lt 0} :
• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {m} impair, {a_{m}>0} :
• {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, latex]{m}[/latex] impair, {a_{m}\lt 0} :

Au vu des douze cas précédents, on comprend qu’une condition nécessaire pour que {f} admette un extrémum local en {x_{0}} est que le coefficient de degré {1} dans le développement de {f(x_{0}+h)} soit nul.

Ce n’est pas une condition suffisante comme on le voit avec les deux derniers cas ci-dessus.

En revanche, si {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, avec {m\ge 2} et pair (en général {m=2}) et {a_{m}\ne 0}, alors la fonction {f} présente en {x_{0}} un extremum local (un minimum si {a_{m}>0}, un maximum si {a_{m}\lt 0}).

On considère le DL en {x_0} non nul: {\begin{array}{l}f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_{0})^2+\cdots\\[9pts]\qquad+a_n(x-x_0)^n+\text{o}((x-x_0)^n)\end{array}}
Dans un tel développement, la différence {x-x_{0}} constitue « l’infiniment principal », et la présence des puissances successives de {(x-x_{0})} illustre une approximation locale de {f(x)} (de plus en plus précise au fur et à mesure de l’avancement dans ce développement).

Dans une telle écriture, il est important de conserver l’ordre des puissances croissantes de {(x-x_{0})}.

Surtout il ne faut jamais développer les {(x-x_0)^k} quand {k\ge2}.

En revanche, on rappelle que {y=a_0+a_1(x-x_0)=a_1x+(a_0-a_1x_0)} représente l’équation de la tangente à la courbe représentative de {f} au point {A(x_0,a_{0}=f(x_0))} à la courbe {y=f(x)} : on peut donc réordonner cette partie du développement sans risque.