Calculs asymptotiques (1/5)

Les limites qui suivent constituent une échelle de comparaison entre fonctions puissances, fonction exponentielle, et fonction logarithme.

Pour tous réels strictement positifs {\alpha,\beta,\delta}, on a : {\begin{array}{cc}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left|x\right|^\alpha\text{e}^{\delta x}=0\quad&\quad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{\delta x}}{x^\alpha}=+\infty\\\\\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^\alpha\left|{\ln(x)}\right|^\beta=0\quad&\quad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^\beta(x)}{x^\alpha}=0\end{array}}

Par ailleurs, soit {f} une fonction définie et dérivable en {0}.

Par définition de la dérivée en {0}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)}.

En particulier : {\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}=1,\quad\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1,\\\\\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}=\alpha\end{array}}Une simple translation de la variable permet d’écrire : {\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1,\qquad\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{m}-1}{x-1}=m}Dans de nombreux cas usuels, on a {f(0)=0} et {f'(0)=1} (ce qui traduit le fait que la première bissectrice {y=x} est la tangente au point {(0,0)} de la courbe représentative).

On a alors {\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=1}.

Dans cette catégorie, on trouve :
{\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}&=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}\\\\&=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\,\text{sh}(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\,\text{th}(x)}{x}=1\end{array}}Voici deux limites utiles (et attention au signe!) :
{\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)-1}{x^{2}}=-\dfrac{1}{2},\quad\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\,\text{ch}(x)-1}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}}Les limites précédentes doivent être connues par coeur !