Probabilités (6/6)

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R. Rappels de 1ère année
On rappelle ici l’espérance et la variance de quelques lois usuelles vues en première année.

  • Loi constante : si {\text{X}} est constante, de valeur {a}, alors {\text{E}(\text{X})=a} et {\text{V}(\text{X})=0}.
  • Espérance d’une variable indicatrice : si {\text{X}} est l’indicatrice d’un événement {A}, alors {\text{E}(\text{X})=\mathbb{P}(A)} et {\text{V}(\text{X})=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(\overline{A})}.
  • Espérance d’une loi de Bernoulli :
    Si {\text{X}} suit la loi de Bernoulli {\mathcal{B}(p)} de paramètre {p}, alors {\text{E}(\text{X})=p} et {\text{V}(\text{X})=pq} (où {q=1\!-\!p}).
  • Espérance d’une loi uniforme :
    Si {\text{X}} suit la loi uniforme {\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)} sur {\llbracket a,b\rrbracket}, alors :{\text{E}(\text{X})=\dfrac{a+b}{2}\;\text{et}\;\text{V}(\text{X})=\dfrac{n^{2}-1}{12}}
  • Espérance de la loi binomiale :
    Si {\text{X}} suit la loi binomiale {\mathcal{B}(n,p)} de paramètres {n,p}, alors {\text{E}(\text{X})=np} et {\text{V}(\text{X})=npq}.

Fonction génératrice

Dans tout ce qui suit, on considère des variables aléatoires discrètes {X,Y,\ldots} sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}, et à valeurs dans {\mathbb{N}}.

D. Fonction génératrice
Soit {\text{X}} une v.a.d. sur {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}, telle que {\text{X}(\Omega)\subset\mathbb{N}}.
On appelle fonction génératrice de {\text{X}} la série entière {\sum\limits\mathbb{P}(\text{X}=n)\,t^{n}} de la variable réelle {t}.
On note {\text{G}_{\text{X}}(t)} la somme de cette série entière.
R. Cas des lois à image finie
La notion de fonction génératrice ne prend tout son sens que quand l’ensemble {\text{X}(\Omega)} est dénombrable. Si {\text{X}(\Omega)\subset\mathbb{N}} est fini, alors {\text{G}_{\text{X}}} est un simple polynôme (le « rayon de convergence » est donc infini).

  • si {\text{X}} est constante en {a\in\mathbb{N}}, alors {\text{G}_{\text{X}}(t)=t^{a}}.
  • si {\text{X}} suit la loi de Bernoulli de paramètre {p}, alors {\text{G}_{\text{X}}(t)=pt+q} (où {q=1-p}).
  • si {\text{X}} suit la loi uniforme sur {\llbracket a,b\rrbracket\subset\mathbb{N}^{2}}, alors :{\text{G}_{\text{X}}(t)=\dfrac{1}{b-a+1}(t^{a}+t^{a+1}+\cdots+t^{b})}
  • si {\text{X}} suit la loi binomiale {\mathcal{B}(n,p)}, alors {\text{G}_{\text{X}}(t)=(pt+q)^{n}} (en posant {q=1-p}).

R. Remarques importantes

  • D’après le théorème du transfert : {\text{G}_{\text{X}}(t)=\text{E}(t^{\text{X}})}.
  • La série {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(\text{X}=n)} converge (somme {1}).
    Le rayon de convergence de la fonction génératrice de {\text{X}} est donc au moins égal à {1}.
    Il en découle aussi que la série {t\mapsto \text{G}_{\text{X}}(t)} est normalement convergente sur {[-1,1]}.

P. Fonction génératrice caractérise la loi
Soit {\text{G}_{\text{X}}} la fonction génératrice d’une variable aléatoire {\text{X}} à valeurs dans {\mathbb{N}}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on a : {\mathbb{P}(\text{X}=n)=\dfrac{1}{n!}\,\text{G}_{\text{X}}^{(n)}(0)}.
Moralité : La loi d’une variable {\text{X}} telle que {\text{X}(\Omega)\subset\mathbb{N}} est caractérisée par {\text{G}_{\text{X}}}.
P. Espérance et fonction génératrice
Soit {\text{X}} une v.a.d. sur {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}, à valeurs dans {\mathbb{N}}.
Alors {\text{X}} est d’espérance finie si et seulement si {\text{G}_{\text{X}}} est dérivable en {1}.
Si tel est le cas, on a alors {\text{E}(\text{X})=\text{G}'_{\text{X}}(1)}.
P. Variance et fonction génératrice
Soit {\text{X}} une v.a.d. sur {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}, à valeurs dans {\mathbb{N}}.
Alors {\text{X}} est de variance finie si et seulement si {\text{G}_{\text{X}}} est deux fois dérivable en {1}.
Dans ce cas, on a l’égalité : {V(\text{X})=\text{G}''_{\text{X}}(1)+\text{G}'_{\text{X}}(1)-(\text{G}'_{\text{X}}(1))^{2}}
P. Série génératrice de X+Y
Soit {\text{X}} et {\text{Y}} deux variables aléatoires indépendantes sur {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})}, à valeurs dans {\mathbb{N}}.
Soit {r} le minimum des rayons de convergence des fonctions génératrices {\text{G}_{\text{X}}} et {\text{G}_{\text{Y}}}.

Alors {\text{X}+\text{Y}} (qui est à valeurs dans {\mathbb{N}}) vérifie : {\forall\, t\in\,]\!-\!r,r[,\;\text{G}_{\text{X}+\text{Y}}(t)=\text{G}_{\text{X}}(t)\,\text{G}_{\text{Y}}(t)}

E. Exercices conseillés

Loi géométrique de paramètre {p}

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Loi de Poisson de paramètre {\lambda}

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Loi faible des grands nombres

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