Suites et séries de fonctions (1/2)

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.

On dit que la suite {(f_n)_{n\ge0}} est simplement convergente sur {I} si, pour tout {x} de {I}, la suite de terme général {f_n(x)} est convergente dans {\mathbb{K}}.

Si on pose {f(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_n(x)} pour tout {x} de {I}, on dit que la fonction {f :I\to\mathbb{K}} est la limite simple}, sur l’intervalle {I}, de la suite {(f_n)_{n\ge0}}.

La fonction {f} est ici caractérisée par : {\begin{array}{l}\forall\, x\in I,\;\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, n_0\in\mathbb{N},\\[6pt]\quad\forall\, n\ge n_0,\;\left|f_n(x)-f(x)\right|\le\varepsilon\end{array}}Dans cette définition, on notera que l’entier {n_0} est fonction à la fois de {\varepsilon} et de {x}.

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que la suite {(f_n)_{n\ge0}} est uniformément convergente sur {I} s’il existe {f :I\to\mathbb{K}} telle que :

• les fonctions {f_n-f} sont bornées sur {I} (au moins à partir d’un certain rang)
• pour tout {\varepsilon>0}, il existe {n_{0}} dans {\mathbb{N}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\;\forall\, x\in I,\;\left|f_n(x)-f(x)\right|\le \varepsilon}.

La fonction {f} est ici caractérisée par : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, n_0\in\mathbb{N},\\[6pt]\quad\forall\, n\ge n_0,\;\forall\, x\in I,\;\left|f_n(x)-f(x)\right|\le\varepsilon\end{array}}Dans cette définition, on notera que l’entier {n_0} n’est plus fonction de {x}, mais uniquement de {\varepsilon}.

On utilise souvent les expressions :

• «la suite {(f_n)_{n\ge0}} converge simplement (resp. uniformément) vers {f} sur {I}»
• «la suite {(f_n)_{n\ge0}} converge vers {f} sur {I} au sens de la convergence simple (resp. uniforme)»
• «la fonction {f} est limite simple (resp. uniforme) de la suite {(f_n)_{n\ge0}} sur {I}»

On note {\mathcal{B}(I,\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions bornées de {I} dans {\mathbb{K}}. C’est un sous-espace de l’espace vectoriel {{\mathcal F}(I,\mathbb{K})} de toutes les fonctions de {I} dans {\mathbb{K}}.
Pour tout {f\in\mathcal{B}(I,\mathbb{K})}, on pose {\left\|f\right\|_\infty=\sup\limits_{x\in I}\left|f(x)\right|}.
On définit ainsi une norme sur {\mathcal{B}(I,\mathbb{K})}, dite norme de la convergence uniforme.
On dit aussi « norme indice infini » ou « norme infinie ».

L’existence de cette norme permet de définir les notions de distance, ensembles ouverts ou fermés, adhérence, limites, etc. On peut également réécrire la définition en invoquant la norme de la convergence uniforme :
Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que la suite {(f_n)_{n\ge0}} est uniformément convergente sur {I} s’il existe {f :I\to\mathbb{K}} telle que :

• les fonctions {f_n-f} sont bornées sur {I} (au moins à partir d’un certain rang)
• la suite {f_{n}-f} converge vers la fonction nulle, au sens de la norme {\left\|\ \right\|_{\infty}}.

La dernière propriété s’écrit plus simplement : {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty}=0}.
Si les fonctions {f_{n}} et {f} sont elles-mêmes bornées sur {I}, on peut traduire cette propriété par :
«{(f_{n})_{n\ge0}} converge vers {f} dans {\mathcal{B}(I,\mathbb{K})} muni de la norme de la convergence uniforme».

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Si la suite {(f_n)_{n\ge0}} est uniformément convergente sur {I} vers une fonction {f}, alors elle est simplement convergente sur {I} vers cette même fonction {f}.
La réciproque est fausse comme le montre la suite des fonctions {x\mapsto x^{n}} sur l’intervalle {[0,1[}.

• Pour prouver la convergence uniforme de la suite {(f_n)_{n\ge0}}, on commence en général par prouver la convergence simple, ce qui permet d’identifier une fonction limite {f}.
  On examine ensuite si la convergence est uniforme sur {I}, en cherchant à majorer {\left|f_{n}(x)-f(x)\right|}, indépendamment de {x}, par une suite positive convergeant vers {0}.
• Pour prouver que {(f_n)_{n\ge0}} ne converge pas uniformément sur {I} vers {f}, il suffit d’exhiber une suite {(x_n)_{n\ge0}} de {I} telle que {n\mapsto f_n(x_n)-f(x_n)} ne converge pas vers {0}.
• Si la suite {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement (resp. uniformément) sur {I}, il en est de même sur tout sous-intervalle {J} de {I}.
  Étudier la convergence de {(f_{n})_{n\ge0}}, c’est préciser sur quel sous-intervalle « maximal » de {I} on a la « meilleure » convergence (et uniforme c’est mieux que simple).
• Avec la notation {\left\|f-f_{n}\right\|_{\infty}}, il est indispensable de préciser sur quel intervalle on travaille.
  En cas de doute, la notation {\displaystyle\sup_{x\in J}\left|f(x)-f_{n}(x)\right|} est plus précise, donc plus sûre.
• En l’absence de convergence uniforme sur {I}, on verra qu’on peut parfois se « contenter » de la convergence uniforme sur tout segment {[a,b]} de {I}.

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions définies sur un intervalle {I}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On sait que la convergence simple de la suite {(f_{n})_{n\ge0}} vers {f} sur {I} n’implique pas nécessairement la convergence uniforme vers cette même fonction {f}.

Il arrive souvent, notamment quand l’intervalle {I} n’est pas borné, qu’on puisse identifier des sous-intervalles de {I} sur lesquels la convergence est uniforme.
On parle de « convergence uniforme sur tout segment » si, pour chaque sous-segment {[a,b]} de {I}, la suite des restrictions des {f_{n}} à {[a,b]} est uniformément convergente (cela n’a d’intérêt que si {I} n’est pas lui-même un segment).

La convergence uniforme sur tout segment de {I} implique bien sûr la convergence simple sur {I}, mais elle n’implique pas la convergence uniforme sur {I}.

• Exemples de suites de fonctions
• Suite de solutions d’une équa-diff
• Convergence d’une suite de fonctions
• La suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\frac{n+x}{1+nx}\right)}
• Convergence uniforme et extrémas
• Étude de la suite des {f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}
• Limite de fonctions inverses
• Développement en produit infini
• Méthode de Newton et convergence uniforme