Sous-espaces affines (1/3)

Dans tout ce chapitre, {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.
Les éléments de {E}, selon le rôle qu’on leur fait jouer, sont appelés points ou vecteurs

Pour limiter les ambigüités, on utilisera quelques conventions typographiques :

• Les points seront notés {A,B,\ldots,M,N,\ldots}.
  Le vecteur nul {0}, considéré comme un point de {E}, pourra être noté {O}.
• Les vecteurs seront notés {a,b,u,v,\ldots}, parfois {\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\ldots,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ldots}.
  On choisira la notation {\overrightarrow{u}} par exemple, plutôt que {u}, pour insister sur le rôle « vectoriel » de cet élément. La distinction entre les deux notations est une simple affaire de commodité.
• Les sous-espaces vectoriels de {E} seront notés {F,G,H,\ldots}.
  On définira plus loin les sous-espaces affines de {E}, et on les notera {\mathcal{F},\mathcal{G},\mathcal{H},\ldots}

Soit {u} un vecteur de {E}.
L’application {t_u:E\to E} définie par {t_u(M)=M+u} est appelée translation de vecteur {u}.

On a bien sûr {t_u(M)=M+u=t_M(u)}, mais l’idée est de considérer {u} comme un vecteur et {M} comme un point (auquel on ajoute {u}), même si {M} et {u} sont l’un comme l’autre des éléments de {E}.

Pour tous vecteurs {u,v} et tout point {A}, on a : {(A+u)+v=A+(u+v)=(A+v)+u}.
Autrement dit on a les égalités : {t_v\circ t_u=t_{u+v}=t_u\circ t_v }.

On a bien sûr {t_{0}=\text{Id}_E}. Toute translation {t_u} est bijective, avec {(t_u)^{-1}=t_{-u}}.

Seule la translation {t_{0}=\text{Id}_E} est linéaire. En effet, si {u\ne0}, alors {t_u(0)=u\ne 0}.

Soit {A,B} deux points de {E}. Il existe un unique vecteur {u} de {E} tel que {B=t_u(A)=A+u}.
Ce vecteur, égal à {B-A}, est noté {\overrightarrow{AB}}.
On a l’équivalence des notations : {\overrightarrow{AB}=u\Leftrightarrow B=A+u}.

De manière évidente : {\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow A=B\ \text{et}\ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}}.

Pour tous points {A,B,C} de {E}, on a la « relation de Chasles » : {\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}.

Soit {A,B} deux points de {E}.

On note {[A,B]=\{M\in E,\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB},\lambda\in[0,1]\}}.

On dit que {[A,B]} est le segment d’origine {A} et d’extrémité {B}, et on a {[A,B]=[B,A]}.

On note les équivalences : {\begin{array}{rl}\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}&\Leftrightarrow M-A=\lambda(B-A)\\[9pts]&\Leftrightarrow M=(1-\lambda)A+\lambda B\end{array}}En particulier, le point {I} défini par {\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}}, donc {I=\dfrac{A+B}{2}}, est le milieu de {[A,B]}.