Sous-espaces affines (2/3)

Soit {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}, de directions respectives {F} et {G}.
On dit que {\mathcal{F}} est faiblement parallèle à {\mathcal{G}} si on a l’inclusion {F\subset G}.
On dit que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}} (ou encore que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles) si on a l’égalité {F=G}.

• Si {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} ont même dimension, les deux notions précédentes sont équivalentes.
• Un singleton est faiblement parallèle à n’importe quel sous-espace affine.
  Une droite peut être faiblement parallèle à un plan, mais l’inverse est impossible.
  Si deux sous-espaces affines de dimension finie sont parallèles, ils ont même dimension.
• Deux droites affines sont parallèles si et seulement si elles ont un vecteur directeur commun.
• On pourra noter {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} pour exprimer que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles.
  On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des sous-espaces affines de {E}.
• {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles {\Leftrightarrow} il existe {u} dans {E} tel que {t_u(\mathcal{F})=\mathcal{G}}.
  Plus précisément, si {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} on a {\mathcal{G}=t_u(\mathcal{F})} pour tout vecteur {u=\overrightarrow{AB}} tel que {A\in\mathcal{F}} et {B\in\mathcal{G}}.
• Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}, et {A} un point de {E}.
  Par le point {A}, il passe un unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}}.
• Un sous-espace affine {\mathcal{F}} est parallèle à sa propre direction {F}.
  Celle-ci est d’ailleurs l’unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}} et passant par {O}.
• Soit {\mathcal{F},\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}. On suppose que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}}.
  Alors il existe un unique sous-espace affine {\mathcal{F}'} contenant {\mathcal{F}} et tel que {\mathcal{F}'} et {\mathcal{G}} soient parallèles.

Sur cette figure, on voit une droite {\mathcal{F}} faiblement parallèle au plan {\mathcal{G}}.
Il existe un plan unique {\mathcal{F}'}contenant {\mathcal{F}} et parallèle à {\mathcal{G}}.
En revanche, {\mathcal{G}} contient une infinité de droites parallèles à {\mathcal{F}}.