Matrices et app^ns linéaires (3/5)

Considérons l’application qui à {u=(x_{1},x_{2},\ldots, x_{p})} associe la colonne {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{p} \end{pmatrix}}.
C’est un isomorphisme « canonique » de {\mathbb{K}^{p}} sur {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})}.
Il permet d’identifier un {p}-uplet {u} avec la matrice colonne {U} correspondante, de hauteur {p}.

Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
L’application {\varphi\colon U\mapsto V=AU} est linéaire de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
À isomorphisme près, il s’agit donc d’une application linéaire de {\mathbb{K}^{p}} dans {\mathbb{K}^{n}}.

Soit par exemple {A=\begin{pmatrix}2&1&0&3\\ 0&4&1&5\\ 1&6&2&0 \end{pmatrix}} et {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix}}

Alors {V=AU=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}, où {\begin{cases}y_{1}=2x_{1}+x_{2}+3x_{4}\\y_{2}=4x_{2}+x_{3}+5x_{4}\\y_{3}=x_{1}+6x_{2}+2x_{3}\end{cases}}

Dans cet exemple, on peut donc identifier :

• l’application linéaire {\varphi\colon U\mapsto V=AU} de {\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{K})}.
• l’application linéaire {f\colon u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto v=(y_{1},y_{2},y_{3})} de {\mathbb{K}^{4}} dans {\mathbb{K}^{3}}.

Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

• l’application {\varphi\colon U\mapsto V=AU} est linéaire de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
• {A} est la matrice d’un unique {f} de {\mathcal{L}(\mathbb{K}^{p},\mathbb{K}^{n})} dans les bases canoniques.

L’application linéaire {\varphi} (ou l’application linéaire {f}) est dite canoniquement associée à {A}.

Compte-tenu de ce qui a été dit plus haut, on peut donc quasiment considérer que {f} et {\varphi} sont une seule et même application linéaire.
Dans la suite, on utilisera indifféremment l’une ou l’autre des deux terminologies.

Soit {A} une matrice, élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Soit {f:\mathbb{K}^{p}\to \mathbb{K}^{n}} l’application linéaire canoniquement associée à la matrice {A}.
On appelle image de {A}, et on note {\text{Im}(A)}, l’image {\text{Im}(f)} de l’application linéaire {f}.
On appelle noyau de {A}, et on note {\text{Ker}(A)}, l’image {\text{Ker}(f)} de l’application linéaire {f}.
On appelle rang de {A}, et on note {\text{rg}(A)}, le rang {\text{rg}(f)} de l’application linéaire {f}.
Le théorème de la dimension nous assure que {\text{rg}(A)+\dim(\text{Ker}(A))=p}.

• Si {A} est dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, alors {(\text{rg}(A)\le n\;\text{et}\; \text{rg}(A)\le p)}.
• Le rang d’une matrice {A} est nul si et seulement si {A} est elle-même la matrice nulle.
• Le rang d’une matrice {A} est égal à {1} si et seulement {A} possède une colonne non nulle et si les autres colonnes de {A} lui sont proportionnelles (voir ci-après).
• Le rang de {A} est celui de toute application linéaire susceptible d’être représentée par {A}.

Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

Notons {\text{C}_{1},\text{C}_{2},\ldots,\text{C}_{p}} les {p} colonnes de {A}.

Pour toute colonne {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}} de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} :{AU\!=\!\left(\!\begin{array}{c|c|c|c}&&&\\\text{C}_{1}&\text{C}_{2}&\cdots&\text{C}_{p}\\&&&\end{array}\!\right)\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\x_{p} \end{pmatrix}\!\!=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}x_{j}\text{C}_{j}}Ainsi l’image de {A}, c’est-à-dire l’ensemble des {AU}, est le sous-espace engendré par {\text{C}_{1},\text{C}_{2},\ldots,\text{C}_{p}}

On retiendra donc : les colonnes d’une matrice {A} forment une famille génératrice de {\text{Im}(A)}.

Soit {A=(a_{i,j})} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

Notons {L_{1},L_{2},\ldots,L_{n}} les {n} lignes de {A}.

On peut donc écrire {A=\left(\begin{array}{cccc}L_1\\L_2\\\vdots\\L_{n}\end{array}\right)}.

Soit {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}} quelconque dans {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})}.

Avec ces notations, on peut caractériser les vecteurs {U} de {\text{Ker}(A)} : {\begin{array}{rl}U\in\text{Ker}(A)&\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}L_1\ \\L_2\\\vdots\\L_{n}\end{array}\right)U=0\\\\&\Leftrightarrow\begin{pmatrix}L_1\, U\\L_2\, U\\\vdots\\L_{n}\,U \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\0 \end{pmatrix}\\\\& \Leftrightarrow \Bigl(\forall\, i\in\{1,\ldots,n\},\;L_{i}U=0\Bigr)\end{array}}Mais {L_{i}=\begin{pmatrix} a_{i,1}&a_{i,2}&\ldots&a_{i,p}\end{pmatrix}} donc l’égalité {L_{i}U=0} s’écrit {\displaystyle\sum_{j=1}^{p}a_{ij}x_{j}=0}.
Ainsi l’égalité {AU=0} se traduit par un système de {n} équations linéaires impliquant les lignes de {A}.

On retiendra donc : les lignes d’une matrice {A} permettent de former un système d’équations de {\text{Ker}(A)}.

Soit {A} une matrice carrée. Alors {A} est inversible si et seulement si son noyau est réduit à {0}.

Pour prouver l’inversibilité de {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, il suffit donc de prouver que {AX=0\Rightarrow X=0}.
Évidemment, cela ne donne pas {A^{-1}} (il faudrait résoudre {AX=B} en {X=A^{-1}B}).

Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et soit {Q} dans {\text{GL}_{n}(\mathbb{K})} (donc {Q} est carrée inversible d’ordre {n}).
Alors les matrices {A} et {QA} ont le même noyau.
En particulier elles ont le même rang.

Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et soit {P} dans {\text{GL}_{p}(\mathbb{K})} (donc {P} est carrée inversible d’ordre {p}).
Alors les matrices {A} et {AP} ont la même image. En particulier elles ont le même rang.