Matrices et app^ns linéaires (1/5)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, de dim {n\ge 1}, muni d’une base {\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}.
Soit {v=(v_{j})_{1\le j\le p}} une famille de {p} vecteurs de {E}.
Pour tout {j} de {\{1,\ldots,p\}}, posons {v_j=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\,\varepsilon_i}.
La matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} de terme général {a_{ij}} est appelée matrice de la famille {v} dans la base {(\varepsilon)}.
On pourra noter cette matrice {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)}.

La {j}-ième colonne de {A}est donc formée des composantes de {v_{j}} dans la base {\varepsilon}.
Par exemple, si {n=3}, {j=2}, et si {\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\!} on a {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)=\begin{pmatrix}3&2\cr5&4\cr1&7\end{pmatrix}}On notera {[v]_\varepsilon} la matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur {v} de {E} dans la base {(\varepsilon)}.

Si {v=(v_{j})_{1\le j\le p}}, on peut donc écrire : {A=M_{\varepsilon}(v)=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\cr {[v_{1}]}_\varepsilon&{[v_{2}]}_\varepsilon&\cdots&{[v_{p}]}_\varepsilon\\&&&\end{array}\right)}

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
On suppose que {\dim(E)=p\ge1}, et que {E} est muni d’une base {(e_{j})_{1\le j\le p}}.
On suppose que {\dim(F)=n\ge1}, et que {F} est muni d’une base {(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
On appelle matrice de {f} dans les bases {e} et {\varepsilon} la matrice {A} de la famille {(f(e_j))_{1\le j\le p} } dans la base {\varepsilon}.
Cette matrice, élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, est notée {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)}.

Pour {1\le j\le p}, la {j}-ième colonne de {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)} est donc formée des composantes de {f(e_j)} dans {\varepsilon}.

Supposons par exemple qu’une base de {E} soit {e=(e_1,e_2,e_3)}, et qu’une base de {F}soit {\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}.

Si {f\in\mathcal{L}(E,F)} est définie par {\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}} alors {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}

• Une application linéaire est déterminée par sa matrice dans un couple de bases donné.
  Si {\dim(E)=p\ge1} et {\dim(F)=n\ge1}, l’application de {{\mathcal L}(E,F)} dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} qui à {f} associe sa matrice dans un couple de bases donné est donc une bijection.
• Si {f:E\to F} est linéaire et si change la base de {E} ou de {F}, la matrice de {f} est, en général, modifiée. On analysera plus loin cette dépendance en fonction du couple de bases.
  En revanche, la matrice de l’application nulle est toujours la matrice nulle.
• On retiendra que si {A} est la matrice d’une application linéaire, le nombre de colonnes de {A} est la dimension de l’espace de départ, et le nombre de lignes est la dimension de l’espace d’arrivée.

Soit {f} un endomorphisme de {E}, où {\dim(E)=n\ge1}.
On munit souvent {E} de la même base {e=(e_i)_{1\le i\le n}} au départ et à l’arrivée.
Plutôt que de noter {\text{Mat}_{e,e}(f)}, on note {\text{Mat}_{e}(f)} et on parle de matrice de {f} dans la base {e}.
Cette matrice est bien sûr carrée d’ordre {n}.

Par exemple, soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_3[X])} défini par :{f(P(X))=(X+1)P'(X)+P(X)}On munit {\mathbb{R}_3[X]} de la base canonique {e=1,X,X^2,X^3} (dans cet ordre!).

On constate que {\begin{cases}f(1)=1\\f(X)=1+2X\\f(X^2)=2X+3X^2\\f(X^3)=3X^2+4X^3\end{cases}}.

Ainsi {\text{Mat}_{e}(f)=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&2&2&0\\0&0&3&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}.