Matrices et appns linéaires (4/5)

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Matrices échelonnées

D. Matrices échelonnées
Soit {A=(a_{ij})} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}. On note {\text{L}_1,\ldots,\text{L}_n} les lignes successives de {A}.
Pour chaque ligne {\text{L}_i} de {A}, soit {d(i)} le plus petit indice {j}, s’il existe, tel que {a_{ij}\ne0}.
On dit que {A} est échelonnée supérieurement s’il existe un entier {r} de {\{0,\ldots,n\}} tel que :

  • pour tout indice {i} inférieur ou égal à {r}, la ligne {\text{L}_i} est non nulle.
  • pour tout indice {i} strictement supérieur à {r}, la ligne {\text{L}_i} est nulle.
  • la suite {d(1),d(2),\ldots,d(r)} est strictement croissante.

P. Rang d'une matrice échelonnée
Avec les notations précédentes, la matrice échelonnée {A} est de rang {r}.
Les {r} coefficients non nuls situés aux positions {(i,d(i))} sont appelés les pivots de {A}.
R. Remarques
Ainsi {A=\begin{pmatrix}0&1&3&4&0&1&5\cr 0&0&3&5&1&0&0\cr 0&0&0&0&4&1&2\cr 0&0&0&0&0&9&1\cr 0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}} est échelonnée (quatre pivots) donc {\text{rg}(A)=4}.

La matrice nulle de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} est un cas particulier de matrice échelonnée (avec zéro pivot!).

On définit comme précédemment les matrices « échelonnées inférieurement ». En fait une matrice {A} est échelonnée inférieurement si et seulement si sa transposée est échelonnée supérieurement.

Opérations élémentaires

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La méthode du pivot

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